Fourier变换的性质

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1、Sec. 7.3 Fourier 变换的性质Fourier 变换的性质设Ff(r) = G(w),且我们约定：当涉及到一个函数需要进行Fourier变换时, 这个函数总是满足变换条件的线性性质For personal use only in study and research; not for commercial use若a,p为任意常数，则对任意函数f和f ,有F 阿 + Pf2 =aF fJ+pF f2证明： 由定义有Faf1 +pf2 J附(x) + pf2(x)e-iwxdx= f (x)e-iwxdx + pf f (x)e-iwxdx- -=aF fi +pF f2 延迟性质设

2、 w 为任意常数, 则0FeiwQff (x) = G(w - w0)证明： 由定义有Feiw0xf (x) = f eiw0xf (x)e-iwxdx-= f f(x)e-i(w-w0)xdx-= G(w- w )0仅供个人参考位移性质设 x 0为任意常数, 则F f (x - x0) = e-iwxcF f (x)证明: 由定义有 相似性质F f (x - x ) = J f(x - x )e-iwxdx8 什=e-iwx0f (x - x )e-iw(x-x0)d(x - x )-8=e -iwx0f (x)e -iwx，dx-8= e -iwx0 F f(x)设a为不为0的常数，则F

3、f (ax) = J1 G (W)a a证明：令ax = x，,则当a 0时有Ff (ax)= J8f (ax)e-iwx dx-8=J f (x，)e-laxdx-8aaa而当a 0时，有Ff(ax)=J8f(ax)e-lwxdx-8=J8 f (x)lax d-8aa所以1wF f (ax) =G (-)a a原函数微分性质若当1x1 Tg 时，f (x) T 0, f (T)(x) T 0,(其中 n = 1,2,),则F 八 x) = iwF f (x)F f( x) = (iW)2 F f (x)F f(n)(x) = (iw) nF f (x)证明: 由定义有8 f (x)(iw)

4、e-iwxdxgFf(x) = J f(x)e-iwxdx = f (x)e-iwx g f-g-g因为当|x| T g时，f (x) T 0 ,因此Ff(x) = iwJs f (x)e-iwxdx = iWFf (x)g又因为当|x|Tg时，f(x) T 0,因此F f (x) = F f (x) = iwF f(x) = (iw)2F f (x) dx重复以上过程便可得证像函数的微分性质设 F -iF(w) = f (x)则 F -iF(w) = (-ix)f (x)证明: 上式两边作算符 F, 并利用 FF-1=1F-ixf (x) = fg (-ix)f (x)e-iwxdx = f

5、g f (x)dedx =fg f (x)e-wxdx = F(w)-g-gdwdw -g例:求 y = x 的 Fourier 变换.解:此函数不满足绝对可积条件，但是可以利用5函数变换中已有的公式y = x = 1 - x,F 1 = f g e -iwx dx = 2冗5 )-g由微分性质可得:F x = 2兀莎()例：求 f (x) J XX - 0 的 Fourier 变换0 x 0+(w)解:此函数可以写成f (x) = xH(x),还是利用微分性质F f (x) = i + 朋(w)iw 积分性质FJxf (g )dg = 1 Ff (x)x0iw证明: 因为-d- Jxf (g

6、 )dg = f (x) dx x0所以F斗卜 f (g )dg = Ff (x) dx x0又由微分性质有F y Jxf(g )dg = iwFJxf (g )dg dx x0x0比较上面两式便可得证.卷积定理已知函数 f (x) 和 f (x), 则定义积分L fG)f2(x 弋朋为函数f (x)和f (x)的卷积，记作f (x)* f (x),即-sf1 (x) * f2 (x) Js f (g)f2(x - g )dg仅供个人参考 卷积运算”*”是一种函数间的运算 , 易于证明它与乘法相似 , 具有交换律 结合律与分配律, 即f(x)* f2(x) = f2(x)* f(x)f (x)

7、 * f2 (x) * f3 (x) = f (x)* f2 (x)* f3 (x)f (x) * f2 (x) + f3 (x) = f (x)* f2 (x) + f (x)* f3 (x) 对于函数f (x)和f (x),有F f (x) * f2 (x) = F f (x) - F f2 (x) 此即卷积定理.证明: 由定义Ffi* f2 J J /)f2(x-g)dge-iwxdx8 8由于 f 和 f 都是在(8,8)上绝对可积的, 故积分可以交换次序, 因此F/i* f2 J fi(g)J8 f2(x g)e-wxdxdg8 8=J8 f1(g) -e-iWgFf2dg8=F /

8、i - F f2像函数的卷积定理1F f (x) - / (x) =F/ (x) * F/ (x)122n12证明:Ffi(x) - f2(x) = 1* fi(x)f2(x)e-iwxdxg/(x)2-Jg G2(W)e W7gg=_卜 g(wf)Jg f (x)e(w-W)xdxdw1g2兀厂2=iJg G2(wJG/w w)dw2兀g 2=1 G (w)* G (w)2k 21=2- F fi( x)* F f2( x)2例：求图1所示的函数f (x)=炉曽:的像函数解: 利用定义求像函数并不复杂 , 下面介绍利用变换的性质来求像函数 , 利用H(x)函数把图示的函数写成如下的解析式:图

9、1利用延迟性质:f (x) = E Ih(x + a) H(x a) 0图2F f ( x) = E eiaw1 +-S (w) E e iaw1 +-S (w)0_ iw_0_ iw_=2i sin awE + -S (w)0 L iw2sinawE0w说明:如果分段定义图1中的函数，只能利用定义来求像函数，利用H(x)函仅供个人参考数可以写成定义在(_卩a)的函数，再利用H(x)的性质来求,多数情况可以简化公式按5函数的定义，它总要参与积分的运算才有意义，所以有关系式f (x)5 (x - x ) = f (x )5 (x - x ),因此上题括号中第二项为00 0 0 把图 1的函数左移

10、 a 得到图2 的函数， 可以利用延迟来求它的像函数.F f (t - a)=e-iaw sin aww例: 求 f (x) = H (x) sin ax 的 Fourier 变换解: 利用 Fourier 变换的位移性质来求eiax - e - iax2_H (x) = F *iaxH2i/ 1)+兀5 (w - a)- 2i iw - a 丿12i _ i f5 (w - a) -5 (w + a) a2 - w22i例 利用 Fourier 变换求解微积分方程dy(x) + 2 y (x) +1x y(g )dg = g (x) H (x)dxx0解: 方程两边进行 Fourier 变换

11、， 利用微分和积分性质iwY (w) + 2Y (w) + 1 Y (w)= F lg (x) H (x) iwY(w) =F g(x) H (x)再进行Fourier反演就可以求解，但是g(x)是未知函数，先利用留数定理进行下 式的反演F1iw一 W2 + 2iw + 1j 8 iWeiwxdw2兀 一8 (w i)2J8eiwxdx = i(iweiwx)= (1 x)e -x2n 8 (w i )2dww=iJ8eiwxdx = 02兀8 (w i)2所以F1iww2 + 2iw +1= (1 x)exH (x)再利用卷积定理，对y进行反演y(x) = (1 x)e-xH (x) * g

12、 (x)H (x)=J8 (1-g)e弋H(g)g(x-g)H(x-g)dg8= J (1 g)g(x g)eg dg0说明:1. 利用Fourier变换解微分和积分方程是Fourier变换的应用之一，它包含三个步骤变换， 整理和逆变换， 最后进行反演， 最困难的是反演.2. 反演计算的是Jordan型积分，w = i是二阶极点，而在x 0时下班平面没有留 数， 所以积分结果等于 0.作业：求e 耳2 （耳0）的Fourier变换仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercia

13、l use.Nur fur den persdnlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerciales.t o n b k o gn 只 nege 叼，KOTopbie ucnonb3yQTC 只 gn 只 o6yqeHU 只，uccnegoBaHU 叼 u He gonxHb ucnonb3OBaTbca bKOMMepqecKux qen只x.以下无正文