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1、三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y= A sin(3x+册或y= A cos(x+册,A0, 30,要根据y= sin x, y= cos x的整体性质求解。一、函数的奇偶性例1 f(x)= sin(x ： ) (ow :V:)是R上的偶函数，贝U 等于()nnA. 0 B.C.D.42【评注】由y二sinx是奇函数，ycosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： 若y二Asin(x ：)是奇函数，贝U二k二(kZ); 若y 二 Asin(x )是偶函数，贝V二 k二 + (k Z);2 若y 二 Acos
2、(x )是奇函数，贝V 二 一(k Z);2 若y = Acos(x)是偶函数，贝U二k二(kZ);kjr若y二Atan(x ;:)是奇函数，贝V二 ( Z).2变式1.已知a R,函数f(x)二sinx-|a|为奇函数，则a等于()A.0 B. 1C. -1D. -1变式2设R,贝U “ =0”是“ f (x) =cos(x )(x R)为偶函数”的()A充分不必要条件B.必要不充分条C 充要条件D.无关条件变式3.设f(x)二sin()，其中0,则f (x)是偶函数的充要条件是()A. f(0) =1 B . f(0) =0 C . f(0) =1 D . f(0)=0例2.设f(x)二s
3、in(2x-/(x R)，贝V f(x)是()A.最小正周期为二的奇函数B.最小正周期为二的偶函数C.最小正周期为一的奇函数D .最小正周期为一的偶函数2 2变式 1.若 f(x)二si n2x-1(x R)，则 f(x)是 ()A.最小正周期为二的奇函数B .最小正周期为二的偶函数C.最小正周期为2二的奇函数D.最小正周期为2二的偶函数变式2下列函数中，既在(0)递增，又是以二为周期的偶函数的是()2A. y =cos2x B . y=|si n2x|C. y=|cos2x|D. y=|si nx|二、函数的周期性JIJT例3函数y二sin(2x )cos(2 x )的最小正周期为()66n
4、nA. B. C. 2二D .二24【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：(1)函数 y = Asin(，x ：丨)b, y = A cos(，x ： 1) b, y = A tan(，x ： 1) bJiI 2 二L I的周期分别为 函数 y 彳 As in (，x J |, y =| AcosC，x W) |, y =| Ata n(，x)| 的周期均为(3) 函数 y 制 A sin( , x ) b |(b - 0), y | A cos( ，x ) b | (b = 0)的周期均为变式1.函数y =sin(2x ) cos(2x )的最小正周期和最大值分别为 ()A.二，1 B .
5、二2 C. 2： ,1D . 2 二，.2变式2.若f (x) =sin x(sin x -cosx),贝肝(x)的最小正周期是.变式3.若f(x)二sin3x |sin3x |则f (x)是()TTA.最小正周期为的周期函数3C.最小正周期为2二的周期函数B. 最小正周期为2的周期函数3D.非周期函数#三、函数的单调性兀例4函数y二sin( -2x)(x0,二)的递增区间是()675 :A.0, B . , C .一，312 123 6【评注】求三角函数的单调区间：若函数 y 二 Asin( x )(A 0, 0)则5:D . 6，二(1)函数的递增区间由2kx 空2k(kZ)决定;2 2J
6、TQ TT 函数的递减区间由2kx _ 2 k点宀一 (k Z )决定；2 2 若函数 y = A sin(x：；Z )中 A - 0 ；： 0，可将函数变为y =-Asin( rx-讦：)则y = Asin( -，x -)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间； 对于函数y = A cos(:Tx亠；J和y = A tan(x亠；)单调性的讨论同上。#3变式1.函数y=si nxf(x)在-一,一内单调递增，则f(x)可以是()4 4A. 1 B . cosxc. sinx D .一 cosx变式2.若f(x)=sinCX )( 0)在(,二)上单调递增，则42的取值范围是(J 5
7、ri 一s X入2,4b . 24C. (0,2D. (0,2变式一.已知函数 f(x)= . 3sin x cos(，x ) cos( - x)(门 0)一3(1)求 f (x)的值域；(2)若f (x)的最小正周期为 -,x 0，f(x)的单调递减区间四、函数的对称性(对称轴、对称中心)例5函数y =sin(2x )图象的对称轴方程可能是 ()JTtJIA. xB. xC. x=6126【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：JTD . X= 12# 函数y =sin x的对称轴为x二k-三Z）,对称中心 （kO）（k三Z）;2 函数y=cosx的对称轴为 x=k-（kwZ）,对称中心（
8、k：”f Z且，0）（ k三Z ）;2 函数y二tan x无对称轴，对称中心（竺，0）（ k Z ）;2乂k兀十斗（4）函数y = A si n（ ，x亠门）亠b的对称轴的求法：令，x = k（k三Z ）,得x =2（k三Z）;2灼对称中心的求法：令 .xW-F=：k:（k. Z）得x= k _ （k Z）,对称中心为 （k ，b）（k Z）;coco（5）函数 y = A cos（ ，x 亠-） b 的对称轴的求法：令=k:（kZ）,得 x= k_ （k 三 Z ）;k兀+沢一申kn +-P对称中心的求法：令二k（k三Z）得x=2（k三Z）,对称中心为 （2,b）（k三Z）2灼变式1.已知函
9、数y =s in Cx）0）的最小正周期为 二，则f （x）的图象（）3JT-TTA. 关于点（一,0）对称B 关于直线x对称3 4C. 关于点（二,0）对称 D.关于直线x对称4 3变式2函数y =sin（x）的图象的一个对称中心是（）43兀3兀兀A.（-二,0）B. （-,0） C. （丁0）D.（二,0）4422x2x变式3.函数f（x）=sin仝+cos仝的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是 .5 5变式4.若函数y =sinx-、3cosx的图象向右平移a个单位（a 0）后的图象关于y轴对称，则 a的最小值是（）TnA.-B.C.626五、三角函数性质的综合【思路提示】三角函数的性质
10、（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；（1对称性二奇偶性：若函数f（x）的图象关于y轴对称，则f（x）是偶函数； 若函数f（x）的图象关于原点对称，贝U f（x）是奇函数；（2）对称性二周期性：相邻两条对称轴之间的距离为 T ;相邻两个对称中心的距离为T ; 相邻的对称中心与对称轴之间的距离为 T;4（3）对称性=单调性：在相邻的对称轴之间，函数f（x）单调；特殊的，若f（x）二Asi n（ x）, A 00函数f（x）在3门2上单调，且0户2设 v - max|/-2，则- ;o4#例6.设f(x)二asin2x bcos2x,ab = 0,若f(x) _ f()对任x R成
11、立，则)=0；(2)%);(3) f (x)不具奇偶性;#(4) f(x)的单调递增区间是k二 石,k二令(k Z);存在经过点(a,b)的直线与函数f (x)的图象不相交 以上结论中正确的是例7.已知函数 f(x)=4cos( x )sin x-cos(2亠，)(门 0) 6(1)求 f (x)的值域；(2) 若 f (x)在区间一3 ,为增函数，求的最大值.2 2K 2兀 变式1.已知函数f(x)=2sin ，x(， 0),若f (x)在-一,上递增，求的取值范围43#例8.若f (x) =sin(cox+)(豹：0), f (；) = f ()且在(；，；)上有最小值无最大值，则 蛍二.
12、题型2根据条件确定解析式 方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。【思路提示】由图象求得y= A sinx+妨(A0, w0)的解析式一般不唯一，只有限定0的取值范围，才能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点(即图象上升时与横轴 的交点)为co0 ,第二点(即图象最高点)为co x +专，第三点(即图象下降时3jj与横轴的交点)为悼，第四点(即图象最低点)为 x，第五点(即图2象上升时与横轴的交点)为 x=2二.。例9.函数f(x)二As in (2x)(A,R)部分图象如下图所示，贝U f(0)(#变式1.函数f(x)二Asin( x )(A 0
13、0)部分图象如下图所示，贝U f(0)=#变式2.f (x) = Acos(X )部分图象如下图所示，f(),则f(0)=23例10.已知函数f(x)二Asi n(，x :)(A 0,， 0,| : |：二)部分图象如下图所示，求f(x)的解析式变式1.已知f (x) =cos2(x:)( ，：:为常数)，如果存在正整数 和实数;：使得函数 f (x)的图象如图所示(图象经过点(1,0)，求的值.y22 O1x#方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求函数解析式。3兀例11.已知函数f(x) =sin(x )( 0,0 U：二)为R上的偶函数，点(一 ,0)是其一对称中心,4且函数在0,亍上单调，求函数f(x)的解析式。变式1已知函数f(x) =4sinC，x 0,0)图象的相邻两条对称轴的距离为-，23且经过点(0,2)，求函数f(x)的解析式。题型3:函数的值域（最值）【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：(1) y =asinx b =at b,sin x =t -1,
