《福建师范大学22春《常微分方程》综合作业一答案参考25》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学22春《常微分方程》综合作业一答案参考25（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学22春常微分方程综合作业一答案参考1. 求通过两条相交直线L1：及L2：的平面方程求通过两条相交直线L1：及L2：的平面方程直线L1的方向向量 直线L2的方向向量 于是所求平面的法向量 =-i+j-k 显然，原点是所求平面上的一点，于是所求平面的点法式方程为： -x+y-z=0，整理得一般方程是：x-y+z=0 2. 设简单图Gi=(i=1，2，6)，其中V=a，b，c，d，e， E1=(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)； E2=(a，b)，(b，e设简单图Gi=i(i=1，2，6)，其中V=a，b，c，d，e，E1=(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)；E2
2、=(a，b)，(b，e)，(e，b)，(a，e)，(d，e)；E3=(a，b)，(b，e)，(e，d)，(c，c)；E4=(a，b)，(b，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(d，e)；E5=(a，b)，(b，a)，(b，c)，(c，d)，(d，e)，(e，a)；E6=(a，a)，(a，b)，(b，c)，(e，c)，(e，d)做出各图，试问：(1)其中图是有向图，是无向图$ 图是强连通图，图是单向连通图，无弱连通图 3. 若f(x)dx=F(x)+C，则f(ax+b)dx=_若f(x)dx=F(x)+C，则f(ax+b)dx=_F(ax+b)+C4. 设函数f(x)在a，b上可导，且f
3、(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得证明令F(x)=lnf(x)，则 因为F(x)在a，b上满足拉格朗日定理的条件，所以，存在一点(a，b)，使得 F(b)-F(a)=F()(b-a)，即 分析将要证的等式变形为 可观察出应构造函数F(x)=lnf(x)，在a，b上应用拉格朗日定理 5. 设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为：对于任意的abI，a*b=a+b-5证明(I，*)是群设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为：对于任意的abI，a*b=a+b-5证
4、明(I，*)是群证明 (1)(a*b)*c=(a+b-5)*c =a+b-5+c-5=a+b+c-10， a*(b*c)=a*(b+c-5) =a+b+c-5-5 =a+b+c-10 满足结合律 (2)根据单位元素的定义有： a*e=e*a=aa+e-5e=5单位元素为5 (3)找逆元素a-1： a*a-1=a-1*a=ea+a-1-5=5a-1=10-a 故存在逆元素 由(1)(3)得：(I，*)是群本题对“*”赋予具体的含义，证明时要找出符合本题的结合律、单位元素、逆元素(不是抽象的证明) 6. 直线y=2x，y=x/2，x+y=2所围成图形的面积为( )A.2/3B.3/2C.3/4D.
5、4/3参考答案：A7. 已知y=4x3-5x2+3x-2，则x=0时的二阶导数y”=( )A.0B.10C.-10D.1参考答案：C8. 晶体与非晶体的基本区别是什么?按晶体中有序分布的质点的不同，晶体可以分成哪几种类型，每种类型晶体与非晶体的基本区别是什么?按晶体中有序分布的质点的不同，晶体可以分成哪几种类型，每种类型的晶体其物理性质的特点如何?正确答案：晶体与非晶体的基本区别在于：晶体的质点的排列是有规律的非晶体的质点排列则毫无规律。rn 根据晶体中那些排列有序的质点的性质可以将晶体分成四种基本类型：分子晶体、离子晶体、原子晶体和金属晶体。rn 分子晶体分子晶体中有序排列的质点是分子质点之
6、间的结合力属于分子间作用力这种力远小于离子键和共价键的结合作用所以分子晶体一般来说熔点低导电性能较差。rn 离子晶体离子晶体中有序排列的质点是正离子和负离子正、负离子间的静电引力即离子键的作用是很强的因此离子晶体的熔点通常要高出室温很多。在晶体中离子不能自由移动所以这些离子晶体导电性差。然而当融化时它们成为很好的导体。rn 原子晶体原子晶体中有序排列的质点是原子。在任何一种原子晶体中原子间都是以共价键相互连接的。由于共价键十分强所以这类物质具有很高的熔点十分坚硬通常导电性差。rn 金属晶体金属晶体中有序排列的质点是金属原子或金属离子金属离子和原子有序地排列与沉浸在由失去的外层电子所形成的电子的
7、“海洋”中。金属晶体的某些性质相差很大这些差异可以由金属键的强弱来加以说明。晶体与非晶体的基本区别在于：晶体的质点的排列是有规律的,非晶体的质点排列则毫无规律。根据晶体中那些排列有序的质点的性质,可以将晶体分成四种基本类型：分子晶体、离子晶体、原子晶体和金属晶体。分子晶体分子晶体中有序排列的质点是分子,质点之间的结合力属于分子间作用力,这种力远小于离子键和共价键的结合作用,所以分子晶体一般来说熔点低,导电性能较差。离子晶体离子晶体中有序排列的质点是正离子和负离子,正、负离子间的静电引力,即离子键的作用是很强的,因此离子晶体的熔点通常要高出室温很多。在晶体中,离子不能自由移动,所以这些离子晶体导
8、电性差。然而当融化时,它们成为很好的导体。原子晶体原子晶体中有序排列的质点是原子。在任何一种原子晶体中,原子间都是以共价键相互连接的。由于共价键十分强,所以这类物质具有很高的熔点,十分坚硬,通常导电性差。金属晶体金属晶体中有序排列的质点是金属原子或金属离子,金属离子和原子有序地排列与沉浸在由失去的外层电子所形成的电子的“海洋”中。金属晶体的某些性质相差很大,这些差异可以由金属键的强弱来加以说明。9. 已知直线方程 L1： L2： 验证它们相交，并求它们所确定的平面方程已知直线方程L1：L2：验证它们相交，并求它们所确定的平面方程因为M1(1，1，0)是L1上的点，M2(-1，-2，-1)是L2
9、上的点所以 因为 2，3，1)不平行于-1，1，1 故L1与L2相交 设M(x，y，z)是所求平面的任一点那么平面方程为 即 2x-3y+5z+1=0 10. 设H是Hilbert空间，若Y与M都是闭线性子空间，PY，PM分别为从H到Y，M的正交投影算子，证明：设H是Hilbert空间，若Y与M都是闭线性子空间，PY，PM分别为从H到Y，M的正交投影算子，证明：证明必要性 设YM则x，yH有PMxM，PY(PMx)Y注意到正交投影算子是自共轭幂等的，故有 PYPMx2=PYPMx，PYPMx=PMx，PMx =PMx，PYPMx=0，因此PYPM= 充分性 设PYPM=由于PM是H到M的正交投
10、影，xM，有x=PMx，于是=PYPMx=PYx由于PY是H到Y的正交投影，此式表明xY因此MY$必要性 设PY+PM是正交投影算子由 PY+PM=(PY+PM)2=+PYPM+PMPY+ =PY+PYPM+PMPY+PM得到PYPM+PMPY=将此式分别左乘PY与右乘PY，有 PYPM=-PYPMPY，PMPY=-PYPMPY 因此PYPM=PMPY= 充分性 设PYPM=，则PYPMPY=于是xH有 PMPYx2=PMPYx，PMPYx=PYx，PYx =x，PYPMPYx=0 这表明PMPY=由此得(PY+PM)2=+PYPM+PMPY+=PY+PM，即PY+PM是幂等的，且x，yH有
11、(PY+PM)x，y=PYx，y+PMx，y=x，PYy+x，PMy =x，(PY+PM)y， 即PY+PM是自共轭的因此PY+PM是正交投影算子$必要性 设PY-PM是正交投影算子，xM，则PMx=z，且 x2PYx2=PYx，x=(PY-PM)x，x+PMx，x =(PY-PM)x2+PMx2 =PYx-x2+x2 因此PYx-x=，即PYx=x，xY因此 充分性 设对任意xH有PMx故PYPMx=PMx，即PYPM=PM另一方面，设x=PYx+y，yY；且x=PMx+m，mM则由yM可知(y-m)M，即(PY-PM)x=m-y与M正交注意到PYx=PMx+(PY-PM)x为PYx关于M的
12、正交分解，从而有PMPYx=PMx，即PMPY=PM于是 (PY-PM)2=-PYPM-PMPY+ =PY-PM-PM+PM=PY-PM， 即PY-PM是幂等的又对任意x，yH有 (PY-PM)x，y=PYx，y-PMx，y=x，PYy-x，PMy =x，(PY-PM)y， 即PY-PM是自共轭的因此PY-PM是正交投影算子$必要性 设PYPM是正交投影算子，则PYPM是自共轭的，于是有 PYPM=(PYPM)*=PMPY 充分性 设PYPM=PMPY，则(PYPM)*=PMPY=PYPM，PYPM是自共轭的又有(PYPM)2=PYPMPYPM=PYPM，即PYPM是幂等的因此PYPM是正交投
13、影算子$记Qn=Pi，则由(2)利用数学归纳法可知Qn是正交投影算子由于对任意xH有(Pix，Pjx)=PjPix，x=0(ij)，故 = 令n可知又因(m，n)，故Pix是Cauchy列由H的完备性，可令Px=则由此式定义的算子P是线性的由于Qn是逐点有界的利用共鸣定理可知Qn一致有界于是P是有界的由于x，yH有 故P是自共轭的；又有 (P2-P)x=(P2-QnP+QnP-+Qn-P)x (P-Qn)(Px)+Qn(P-Qn)x +(Qn-P)x0(n)，故P2=P，即P是幂等的因此P是正交投影算子 11. 函数y=tan2x+cosx是一个非奇非偶的周期函数。( )A.正确B.错误参考答案：A12. 求直线L在平面：x-y+z+8=0上的投影直线方程求直线L在平面：x-y+z+8=0上的投影直线方程13. 如果df(x)=dg(x)，则必有( )。A.f(x)=g(x)B.df(x)=dg(x)C.f(x)=g(x)D.df(x)dx=dg(
