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1、1.1质点的运动函数为式中的量均采用SI单位.1求质点运动的轨道方程；2求和时,质点的位置、速度和加速度.解1消去运动函数中的t,可得轨道方程为可见质点沿一抛物线运动.2质点的位矢为速度和加速度分别为和当和时,质点的位置分别为 和 速度分别为 和 而加速度都是.1.2一质点由静止开始沿直线运动,初始时刻的加速度为,以后加速度均匀增加,每经过秒增加,求经过秒后该质点的速度和运动的路程.解 质点的加速度每秒钟增加,加速度与时间的关系为因此,经过秒后质点的速度为质点走过的路程为3m/s4m/s东南图1.1习题1.5用图 1.5如图1.1所示,在以的速度向东航行的A船上看,B船以的速度从北面驶向A船.
2、在湖岸上看,B船的速度如何？解 按速度的变换关系,B船相对湖岸的速度为如图1.1所示,其大小为与正南方向的夹角为即在湖岸上看,B船沿向南偏东的方向以速度航行.1.14 设有一个质量为的物体,自地面以初速竖直向上发射,物体受到的空气阻力为,其中是物体的速率,为正常数.求物体的速度和物体达到最大高度所需时间.解 取竖直向上为轴方向,物体的运动方程为写成分离变量形式设在时刻物体的速度为,则有得因此,物体的速度为因为达到最大高度时,所以物体达到最大高度所需时间为1.13一质量为的船,在速率为时发动机因故障停止工作.若水对船的阻力为,其中是船的速率,A为正常数,试求发动机停止工作后船速的变化规律.解 取
3、船水平前进方向为轴方向,发动机停止工作后船的运动方程为写成分离变量形式为设在时刻物体的速度为,则有得因此,船速的变化规律为1.16如图1.3所示,绳子一端固定,另一端系一小球,小球绕竖直轴在水平面上做匀速圆周运动,这称为圆锥摆.已知绳长为,绳与竖直轴的夹角为,求小球绕竖直轴一周所需时间.LmgTvR图1.3习题1.16用图 解 如图1.3所示,对小球沿指向圆心方向和沿竖直向下方向列运动方程解出小球沿圆周运动的速率为小球绕竖直轴一周所需时间为把代入,得可以看出,只与有关,与小球质量无关.2.3 在如图2.3所示的系统中,滑轮可视为半径为、质量为的均质圆盘,滑轮与绳子间无滑动,水平面光滑,若,求物
4、体的加速度与绳中的张力.m2gT2图2.3习题2.3用图在教材图2.25上加T2解将体系隔离为,三个部分,对和分别列牛顿方程,有因滑轮与绳子间无滑动,则有运动学条件联立求解由以上四式,可得由此得物体的加速度和绳中的张力为2.4如图2.4所示,一轴承光滑的定滑轮,质量为,半径为,上面绕一根不能伸长的轻绳,绳下端系一质量m=5.00kg的物体.已知定滑轮的转动惯量为,初始角速度,方向垂直纸面向里,求：1定滑轮的角加速度；2定滑轮的角速度变化到时,物体上升的高度；3当物体回到原来位置时,定滑轮的角速度.图2.4习题2.4用图在教材图2.26上加TmgT解1对物体和滑轮分别列牛顿方程和转动方程.设物体
5、的加速度为a,滑轮的角加速度为b,则有考虑运动学条件联立求解由以上三式,得定滑轮的角加速度为 方向垂直纸面向外.可以看出,在物体上升期间定滑轮做匀减速转动.2由,当时,因此,物体上升的高度为3物体上升到高度h后,定滑轮由静止开始以角加速度b做匀加速转动.因此,当物体回到原来位置时,定滑轮的角速度为方向垂直纸面向外.2.7 质量为和的两物体A、B分别悬挂在图2.5所示的组合滑轮两端.设两轮的半径分别为和,两轮的转动惯量分别为和,轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计,绳的质量也略去不计.试求两物体的加速度和绳的张力.图2.5习题2.7用图在教材图2.27上加T1m1gT22m2gT1T2解分别
6、对两物体与组合滑轮作受力分析.根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律,有由角加速度和线加速度之间的关系,有,联立求解解上述方程,可得2.16如图2.14所示,一质量为的小球由一绳索系着,以角速度在无摩擦的水平面上,作半径为的圆周运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力F ,使小球作圆周运动的半径变小.当半径减为时,求：1小球的角速度；2拉力所作的功.图2.14习题2.16用图 教材图2.36解 1因拉力通过绳的另一端,则拉力对轴无力矩,小球在转动的过程中角动量守恒.即式中和分别是小球在半径为和时对轴的转动惯量,和,则有2随着小球转动角速度的增加,其转动动能也增加,这正是拉力做功的结果.由转动的动
7、能定理可得拉力做的功为2.18如图2.16所示,长为、质量为的均匀细杆可绕过端点的固定水平光滑轴转动.把杆抬平后无初速地释放,杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰,球的质量和杆相同.设碰撞是弹性的,求碰后小球获得的速度.图2.16习题2.18用图教材图2.37解 选杆和小球为刚体系.因碰撞是弹性的,则体系的机械能守恒.以水平桌面为重力势能零点,设杆摆至竖直位置但未与小球碰撞时的角速度为,则有在杆与小球碰撞过程中,体系对轴的角动量守恒.设碰撞后杆的角速未度,则有式中为杆绕轴的转动惯量,为碰后小球获得的速度.由机械能守恒,有由以上三式,可解出碰后小球获得的速度.3.3 如图3.2所示,一
8、环形薄片由细绳悬吊着,环的半径为R,内半径为R/2,并有电量Q均匀分布在环面上,细绳长3R,也有电量Q均匀分布在绳上,试求圆环中心O处的电场强度 圆环中心在细绳延长线上.图3.2习题3.3用图在教材图3.33上加解 圆环上的电荷对圆环中心O点对称分布,因此它在O点的场强为零,合场强就是细绳上的电荷在O点产生的场强.选细绳顶端为坐标原点,竖直向下为x轴.在x处取一电荷元,它在O点的场强为整个细绳上的电荷在在O点产生的场强为方向竖直向下.此即所求.图3.10习题3.11用图在教材图3.39上加3.11如图3.10所示,在电荷体密度为的均匀带电球体中,存在一个球形空腔,若将带电体球心O指向球形空腔球
9、心的矢量用表示.试证明球形空腔中任一点电场强度为.证 球形空腔可以看成是由电荷体密度分别为和的均匀带电大球体和小球体叠加而成.空腔内任一点P处的场强,可表示为其中和分别为带电大球体和小球体在P点的场强.由几何关系,上式可写成即证.3.12半径为b的细圆环,圆心在Oxy坐标系的原点上.圆环所带电荷的线密度,其中a为常量,如图3.11所示.求圆心处电场强度的x,y分量.图3.11习题3.12用图在教材图3.40上加解 由于电荷分布关于轴对称,所以圆心点处,场强沿轴.取电荷元,其在点沿轴场强为积分得3.13 如图3.12所示,两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为和,单位长度上的电荷为.
10、求离轴线为r处的电场强度：,. R1R2图3.12习题3.13用图在教材图3.41上加 解 电荷轴对称分布,因此电场的分布具有轴对称性.在离轴线为r处作单位长度的同轴圆柱形高斯面,根据高斯定理,有其中为高斯面包围的电荷.：,：,：,3.14点电荷C,与它在同一直线上的A、B、C三点分别距q为10cm、20cm、30cm,如图3.13所示.若选B为电势零点,求A、C两点的电势、.图3.13习题3.14用图解 坐标系的选取如图所示,B点为电势零点.由电势的定义,得图3.16习题3.18用图教材图3.453.18如图3.16所示,两均匀带电薄球壳同心放置,半径分别为R1和R2R1R2,已知内外球壳间
11、的电势差为,求两球壳间的电场分布.解 设内球壳带电量为q,则内外球壳间的场强可表示为则两球壳间的电势差为解出并代入的表达式,得两球壳间的电场分布为方向沿径向.3.22两个同心球面半径分别为和,各自带有电荷和.1由电势叠加求各区域电势分布；2两球面间的电势差为多少？Q1Q2图3.19习题3.22用图解 1半径为,电荷为的均匀带电球面内各点的电势相等,都等于球面上各点的电势,即而带电球面外的电势为由电势叠加原理,电场内某点的电势等于两个带电球面单独存在时在该点电势的代数和.因此：场点处于两个球面的内部,电势为：场点处于两个球面之间：场点位于两个球面之外2两个球面间的电势差为3.25在平面上,各点的
12、电势满足下式：式中x和y为任一点的坐标,a和b为常量.求任一点的电场强度的和 两个分量. 解 电场中某点的电场强度,等于该点的电势梯度加上负号.因此,有3.26 如图3.21所示,已知长为,均匀带电电量为的细棒,求z轴上的一点P的电势与场强的z轴分量要求用求场强.图3.21习题3.26用图教材图3.50解 用电势的定义求P点的电势,即对于轴上的点P,其电势为场强的z轴分量为4.1 如图4.1所示,一个接地的导体球,半径为R,原来不带电.今将一点电荷q放在球外距球心的距离为r的地方,求球上的感生电荷总量.图4.1习题4.1用图在教材图4.29上加解 设导体球上的感生电荷总量为.因感生电荷分布在球
13、面上,则由电势叠加原理可知在球心的电势为而点电荷q在球心的电势为因导体球接地,则球心的电势为零.由电势叠加原理,有由此得感生电荷总量为5.14 有一同轴电缆,其尺寸如图5.13所示.两导体中的电流均为I,但电流的流向相反,导体的磁性可以不考虑.试计算以下各区域的磁感应强度：1；3；4.画出Br图线.图5.13习题5.14用图在教材图5.60上加解 同轴电缆导体内的电流均匀分布,其磁场轴对称分布.取半径为r的同心圆为积分路径,利用安培环路定理,即得各区域的磁感应强度.1234Br图线如图5.13中右图所示.6.1 有一面积为的平面线圈,把它放入匀强磁场中,线圈平面与磁感应线垂直.当时,线圈中感应
14、电动势的大小是多少？解 按照与B的方向成右手螺旋,确定线圈回路的正方向.由法拉第电磁感应定律,线圈中感应电动势为式中的负号说明,线圈中感应电动势的方向与线圈回路的正方向相反.6.2 一导线的形状如图6.1所示,其中cd部分是半圆,半径r0.2m.导线放在B0.5T的匀强磁场中,t0时导线处于图示位置,并以转速绕a、b连线匀角速转动,求导线上的感应电动势的大小.图6.1 习题6.2用图教材图6.20图6.1 习题6.2用图教材图6.20图6.1 习题6.2用图教材图6.20图6.1 习题6.2用图教材图6.20解 按照与B的方向成右手螺旋,确定图6.1中半圆线圈回路的正方向,t时刻通过半圆线圈回路的磁通量为由法拉第电磁感应定律,导线上的感应电动势为方向由的符号确定. /
