《广东省茂名市2024届高三下学期二模数学试卷(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省茂名市2024届高三下学期二模数学试卷(含答案)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、广东省茂名市2024届高三下学期二模数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知复数（i为虚数单位）,则( )A.B.C.1D.2与向量方向相同的单位向量是( )A.B.C.D.3设等差数列的前n项和为,且,则的值是( )A.11B.50C.55D.604已知l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下面四个命题中,正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则5已知变量x和y的统计数据如表：x12345y66788根据上表可得回归直线方程,据此可以预测当时,( )A.8.5B.9C.9.5D.106已知抛物线的焦点为F,C的准线与x轴的交点为M,点P是C上一点,且点P在
2、第一象限,设,则( )A.B.C.D.7若为R上的偶函数,且,当时,则函数在区间上的所有零点的和是( )A.20B.18C.16D.148已知m,记直线与直线的交点为P,点Q是圆上的一点,若与C相切,则的取值范围是( )A.B.C.D.二、多项选择题9已知函数为R上的奇函数,且在R上单调递增,若,则实数a的取值可以是( )A.-1B.0C.1D.210已知双曲线,直线,则下列说法正确的是( )A.若,则l与C仅有一个公共点B.若,则l与C仅有一个公共点C.若l与C有两个公共点,则D.若l与C没有公共点,则11已知,其中,则的取值可以是( )A.eB.C.D.三、填空题12的展开式中的系数是_.
3、13在中,点D在线段上,且,则_.14如图,在梯形中,将沿直线翻折至的位置,当三棱锥的体积最大时,过点M的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是_.四、解答题15如图,几何体是圆柱的一半,四边形是圆柱的轴截面,O为的中点,E为半圆弧上异于C,D的一点.（1）证明：;（2）若,求平面与平面夹角的余弦值.16已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为,求实数a的值;（2）若,求函数在区间上的最大值.17已知椭圆,右焦点为F,过点F的直线l交C于A,B两点.（1）若直线l的倾斜角为,求;（2）记线段的垂直平分线交直线于点M,当最大时,求直线l的方程.18在一场乒乓球赛中,甲、乙、丙、丁四人角逐冠
4、军.比赛采用“双败淘汰制”,具体赛制为：首先,四人通过抽签两两对阵,胜者进入“胜区”,败者进入“败区”;接下来,“胜区”的两人对阵,胜者进入最后决赛;“败区”的两人对阵,败者直接淘汰出局获利第四名,紧接着,“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵,胜者晋级最后的决赛,败者获得第三名;最后,剩下的两人进行最后的冠军决赛,胜者获得冠军,败者获利第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为,且不同对阵的结果相互独立.（1）若,经抽签,第一轮由甲对阵乙,丙对阵丁;求甲获得第四名的概率;求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望;（2）除“双败淘汰制”外,也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵,胜者晋级
5、,败者淘汰,直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19有无穷多个首项均为1的等差数列,记第个等差数列的第项为,公差为.（1）若,求的值;（2）若m为给定的值,且对任意n有,证明：存在实数,满足,;（3）若为等比数列,证明：.参考答案1答案：C解析：,故选:C.2答案：B解析：,故选:B.3答案：C解析：由等差数列的性质可得,则,故选:C.4答案：D解析：关于A,缺少条件,故A错误;关于B,桌面平放一支笔,平行地面;地面平放一支笔,平行桌面,观察这两支笔的关系,就知道这两支笔不一定平行,故B错误;关于C,黑板跟地面垂直,黑板上随意画一条线,地面随意放一支笔,不一定垂真;关于D,
6、,又,记,且,则, , .故D正确,故选：D.5答案：D解析：,则, , ,时,预测,故选：D.6答案：A解析：过点P作垂直准线,垂足为,在中,由正弦定理得,即,所以,在直角中,因为,所以,所以,即,故选：A.7答案：A解析：与在区间上一共有10个交点,且这10个交点的横坐标关于直线对称,所以在区间的的有零点的和是20.故选：A.8答案：C解析：m,直线与直线分别过定点,且两直线垂直,交点P的轨迹是以为直径的圆,即点P的轨迹方程为,圆心,因为点Q是C上的一点,直线是C的切线,所以问题可转化为圆上任一点P作直线与圆相切,求切线长的取值范围.设圆C的半径为R,则,因为圆C的圆心为,其半径为定值,当
7、取得最小值和最大值时,切线长取得最小值和最大值,又因为,即,即,所以,即.故选：C.9答案：CD解析：函数是奇函数,在R上单调递增,则不等式,可变形为,解得.故选:CD.10答案：ABD解析：因为双曲线的方程为,其渐近线方程为,即,又因为直线过定点,当时,直线l与双曲线C有且只有一个交点,故A正确;联立消去得,当直线l与双曲线C相切时,方程只有一个实数根,解得,所以,当直线l与双曲线C相切时,方程只有一个实数根,解得,所以当时,直线l与双曲线C有且只有一个交点,故B正确;由图象可知,若l与C有两个公共点,则或,故选C错误;若l与C没有公共点,D正确,故选：ABD.11答案：CD解析：令,则,故
8、当时,单调递增,当时,单调递减, ,又,不妨设,解法一：记,设,所以在上恒成立,所以在上单调递减,所以,则,又因为,且在上单调递减,所以,则,所以,故选：CD.解法二：令;两式相减,可得,则,;令,则,因为在上恒成立,所以在上单调递增,因为在上恒成立,所以在上单调递增,则,即,所以,故：CD.解法三：令,则,记,则,在上恒成立,在上单调递增, ,所以在上恒成立,在上单调递增,又由洛必达法则可知, ,故选：CD解法四：,两式相减得,由对数均值不等式,可得,下列对数均值不等式右半部分：（左半部分可自行证明）,证明：不妨设,则上述不等式可化为,即,记,则不等式可化为时,令,则,所以在上单调递减,则,
9、所以时,所以,故选：CD.12答案：40解析：由可得答案;13答案：解析：由余弦定理,即,即为直角三角形,.14答案：解析：显然,当三棱锥的体积最大时,平面平面,且平面平面;取的中点E,则,故平面,取的中点O,则,又,且,则,又,故O是三棱锥的外接球球心,且该外接球的半径;显然,当且仅当过点M的平面与垂直时,截外接球的截面面积最小,此时,截面的圆心就是点M,记其半径为r,则;在中,故;又,故,又,故由余弦定理有, ,故所求面积为.15答案：（1）见解析（2）解析：（1）证明： 是圆的直径, 又平面,平面, ,平面, 平面,又平面, ;（2）记点为点E在底面上的投影,以为坐标原点,所在直线分别为
10、x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.,故,记平面,平面的法向量分别为,则,即,故可取,则,平面与平面夹角的余弦值为.16答案：（1）2（2）解析：（1）因为,所以,所以,因为曲线在点处的切线方程为,所以所以所以;（2）当时,令,当时,单调递增,又,所以唯一的,使得当时,单调递减;当时,单调递增,又,所以.17答案：（1）（2）或解析：（1）由题意可得,因为直线l的倾斜角为,所以,因此,l的方程为,联立方程消去y得解得,所以,因此,.（2）设,由题意得,直线l的斜率不为0,故设l为,联立方程消去x得,因此,所以,设线段的中点为G,则,所以,所以设,则,当且仅当,即时等号成立,当最大时,也
11、最大,此时直线l的方程为,即或.18答案：（1）3.128（2）两种赛制甲夺冠的概率一样解析：（1）记“甲获得第四名”为事件A,则;记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X,则X的所有可能取值为2,3,4,连败两局：,可以分为：连胜两局,第三局不管胜负;负胜负;胜负负;,;故X的分布列如下：X234P0.160.5520.288故数学期望;（2）“双败淘汰制”下,甲获胜的概率,在“单败淘汰制”下,甲获胜的概率为,由,且所以时,“双败淘汰制”对甲夺冠有利;时,“单败淘汰制”对甲夺冠有利;时,两种赛制甲夺冠的概率一样.19答案：（1）2（2）见解析（3）见解析解析：（1）由题意得,又,所以;（2）证明：因为,所以,即,所以,因此,所以,又,即,因此,所以存在实数,满足,;（3）证明：因为为等比数列,所以,其中q为的公比,于是,当时,因为,因此,又,所以,因此,即,所以.
