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1、数的整除知识框架一、 整除的定义： 当两个整数a和b（b0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.二、 常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上
2、的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的
3、倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13327，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：61392595 ， 595249，所以6139是7的倍数，余类推。8. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。9. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17
4、的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。10. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。11. 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。12. 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除.13. 若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）三、整除性
5、质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(ab)性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除即如果bca，那么ba，ca性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca 例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(34) 12性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除如果 ba，那么bmam（m为非
6、0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除如果 ba ，且dc ，那么bdac；四、其他重要结论1、 能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。我们可以概括成一个性质：未n位数能被(或)整除的数，本身必能被(或)整除；反过来，末n位数不能被(或)整除的数，本身必不能被(或)整除。例如，判断19973216、91688169能否能被16整除，只需考虑未四位数能否被16（因为16=）整除便可，这样便可以举一反三，运用自如。2、 利用连续整数之积的性质： 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可
7、被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被23=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。3、 一个奇位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的差一定是9的倍数。4、 ；，这样的数一定能被7、11、13整除。5、 等等。重难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。例题精讲【例 1】 ，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【巩固】 从50到1
8、00的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【例 2】 把若干个自然数1、2、3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【巩固】 的结果除以，所得到的商再除以重复这样的操作，在第_次除以时，首次出现余数.【例 3】 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？【巩固】 用19这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4的倍数。这三个三位数中最小的一个最大是 。【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使432是9的倍数. 请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。【巩固】
9、 一个六位数被3除余l，被9除余4，这个数最小是 。【例 5】 连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：123456789101120072008，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？【巩固】 123456789101112131420082009除以9，商的个位数字是_ 。【例 6】 1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是和)如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?【巩固】 ，等首位是，个位是，中间数字全部是
10、的数字中，能被整除而不被整除的最小数是 。三、7、11、13系列【例 7】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：9865；9866；9867；9868；9869.这两个4位数的和到底是多少? 【巩固】 是77的倍数，则最大为_?【例 8】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：.如果此数能被91整除，那么这个三位数是多少？ 【巩固】 称一个两头（首位与末尾）都是的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。这个“两头蛇数”是 。（写出所有可能
11、）【例 9】 学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄。”老师今年 岁。【巩固】 已知两个三位数与的和能被37整除，试说明：六位数也能被37整除【例 10】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：9865；9867；9462；9696；9869.这两个4位数的和到底是多少? 【巩固】 一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是_？【例 11】 在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使
12、此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少? 【巩固】 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？ 【例 12】 若，试问能否被8整除?请说明理由 【巩固】 证明能被6整除，那么也能被6整除【例 13】 甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_【巩固】 有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是_ 【例 14】 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，12他们的电话号码依次是12个连续的六
13、位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【巩固】 用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。要求前1位数能被2整除，前2位数能被3整除，前9位数能被10整除已知最高位数为8这个十位数是 【例 15】 在六位数中，不同的字母表示不同的数字，且满足，依次能被2，3，5，7，11，13整除则的最小值是 ；已知当取得最大值时，那么的最大值是_【巩固】 有一个九位数的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数可被2整除，三位数可被3整除，四位数可被4整除，依此类推，九位数可被9整除请问这个九位数是多少？ 【例 16】 N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除N的最大值是 【巩固】 ，各代表一个不同的非零数字，如果是的倍数，是的倍数， 是的倍数，是的倍数，那么是 。课堂检测【随练1】 若9位数20082008能够被3整除，则里的数是_【随练2】 六位数能被99整除，是多少？ 【随练3】 应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使
