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1、微元法在解题中的应用随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理 的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得学生利用数 学方法处理物理问题的能力得到很大的提高。在教学中渗透微元思想，对加深学生对物理概念、规律的 dx 理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用.比如：位移对时间的变化率一一瞬时速度：v = 二， dt求位移：x = f vdt ；速度对时间的变化率加速度：a =牛，求速度v = f adt ；动量对时间的变化 dt率力：F =芈，求冲量I = Ap = jFdt ；磁通量对时间的变化率感应电动势：
2、E =华；通dtdt过导体某一截面的电量对时间的变化率一电流强度：1 =务求电量1 =,泌；功对时间的变化率瞬时功率：P =耳，求功W =Fdx ；穿过线圈的磁通量对时间的变化率一一感应电动势:一dE = n。学生掌握微元思想对这些物理概念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理dt问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃”。rXXXXR B 于 VXXx.XXTXXXXXXIXX一、用微元法解题的基本方法和步骤例.如图所示，水平放置的导体电阻为R，R与两根光滑的 平行金属导轨相连，导轨间距为L，其间有垂直导轨平面的、 磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以 初速度v0
3、向右运动。求这个过程的总位移？解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力作B 2 L vB 2 L vAv用，导体棒做非匀减速运动，-BIL = - = m在某一时刻取一个微元-十=m&B2 L2AA变式 - 一r v. At = mAvB 2 Lrx = m(0 - v )得两边求和-牛vA=ZmAv 因七At=mv R x =0 B 2 L小结：在处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方 法。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律 是相同的，这样，我们只需分析这些元过程”，然后再将“元过程”
4、进行必要的数学方法（累计求和）进 而使问题求解。在解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微 元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。微元法的解题思路：选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时变化 问题的困难）；利用数学“微积分”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分利用数学工具， 既完成问题“转化”且保证所求问题的性质不变，又能简单地求得结果）微元法的解题步骤：确定研究对象，选取“微元”；列出相关微元的方程；对相关微元进行 累积求和或求导。二、用微元法解题的方法的应用1、微元法在动量定理中应用例1、一质量为m、带电量为+q的带电
5、粒子（重力不能忽略），f:以速度从磁场上边界竖立进入一宽度为d的匀强磁场区域（如图所 * 匕甲 X 示），磁感应强度为B,试求粒子飞出磁场的方向？ 解：该带电粒子的运动分解为水平和竖直两个方向的运动.在水平 *方向除洛仑兹力分力外无其它力的作用，所以在水平方向用动量定理F有：1p =F t =qBv t EAp =YqBv * mvcos。=qBd,（方法二 j x yx yqv BAvqv Bqv Bqv Ba = - i Av = At Av = i At vx = qmd(因 vyAt = Ax y)v=q2gd + v2o ,而粒子在下落过程中只有重力做功，所以有mv2/2-mv02/
6、2=mgd, 得 代人上式则得 cos 0 =qBd/（m、：2gd + v2。J.2、微元法在变化的电量中运用如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为L和2L,宽间距的导轨间相距均 为2L、窄间距的导轨间相距均为乙，最左端用导线连接阻值为氏的电阻，各段导轨间均用导线连接，整 个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中.质量为m的导体棒可在各段导轨上无摩擦地 滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直.导轨和导体棒电阻均忽略不计.现使导体棒从位置以初速度v0 垂直于导轨向右运动，则（1）若导体棒在大小为F、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达cd位置时的速度为v,求在 此运动
7、的过程中电路产生的焦耳热.（2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动，求导体棒运动到cd位置的过程中，水平拉力做的 功和电路中电流的有效值.（3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用，求运动到cd位置时的速度大小.XXX X X X XXxX、2lX X X X X. X.八 11解析：（1） Q = 9 FL + mv2 - mv2 20 218 B 2 L3v（2）W = W+ W =一0重点讨论第（3）问（3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为Av和Av_，在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律，在t t + At时间内有A F a Av = 一 At, mv2 BL
8、vI 0RE Aq = I At,A 寸 2 BL TA则 Av1 = Y-IAt ,此时变量为IA4.4 B 2 L31才=写出式，新广方v = v - 3(Av +Av ) = v 18B2L 0120q1=R * =同理A 2 B 2 L3 a%f所以导体棒运动到cd位置时的速度大小mR小 X X 匹x X dX把变量改成Av方法二：当然也可以把安培力变形成：F1 =卒与F2 =些昔例.如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间 的距离为也导轨上面横放着两根导体棒L1和L2,与导轨构成回路，两根导体棒x 的质量都为m,电阻都为R回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨
9、平面内 都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B。两导体棒均可沿导轨无摩X 擦地滑行，保持L1向上作速度为的匀速运动，在40时刻将靠近L1处的L2由x静止释放(刚释放时两棒的距离可忽略)，经过一段时间后L2也作匀速运动。已知 d=0.5m，m=0.5kg，R=0.1Q，B=1T，g 取 10m/s2。*(1) 为使导体棒L2向下运动，L1的速度最大不能超过多少？x(2) 若L1的速度况3m/s，在坐标中画出L2的加速度a2与速率u2的关系图像；(3) 若L1的速度u=3m/s，在L2刚作匀速运动的某时刻，两棒的间距4m， 琮求在此时刻前L2运动的距离。(解： u 4m / s/ a =
10、2.5 - 2.5u2-重点讨论第(3)题:，0.5(3)当导体棒L2做匀速运动时，匕和L2两棒的速度分别是u和七，由平衡条件得 22o = g At 一相 At2 RmB2d2(0+0 ).,2R= mg得 o +o = 4m / s设当导体棒l2、L的相对速度为u相时，B 2 d 20取极短时间&，在时间&内速度变化0a - g - 2 RmTa Ta, B2 d2 V.乙 Ao = gT At - 2r To相AtB 2 d 2得o = gF-七22 Rm 相代入数据得两棒间距为4m所用时间t=1.1s导体棒L1运动的位移x1= u t=3X1.1m=3.3m导体棒L2运动的位移x =
11、x 一 x = 0.7m4、微元法在变化的位移中应用例：从地面上以初速度竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率 成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为 七，且落地前球已经做匀速运动.求：OV1(1) 球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；(2) 球抛出瞬间的加速度大小；r -=1+f gJ(3) 球上升的最大高度H.重点讨论上升时加速度为a取极短时间At，解析： W = -W = 2 mv2 一 2 mv2-(mg + kv )= mak a = - g 一一 vm速度的变化量Av，有又 vAt = Ah-k -
12、Av = aAt = - g At - vAtm上升全过程ZAv = 0 - v =- g ZAt-k ZAh0mH = *1gk _则v0 = gt + H5、微元法在变化的时间中应用例：如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为I、足够长且电阻忽 略不计，导轨平面的倾角为a ,条形匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。X长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“口 ”型装置，总质量为m，置于 导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流(由外接恒流源产生，图中未图出】线框的边长为d (d i/解析.(3)Q = 4mgd sin a -
13、 Bild = 0Bildx.m BIl mg sin a(2)题导欠樱重点讨论第(2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为v则接着向下运动2d 由动能定理mg sin a - 2d - BIld = 0 -1 mv2 (利用末速度为0，倒过来求v1)装置在磁场中运动时受到的合力F = mg sin a- F8I=; 安培力R F 有 Av = Atm感应电动势 8 =Bd U 感应电流由牛顿第二定律，在t到t+A t时间内，则 ZAv = Z.B 2 d 2 vg sin a mRAtF，= BI d此时 Z vi At = ZAxi = 2d_, .2 B2 d3有 vi = gti sina - mR2m(BIld - 2mgd sin a)解得 t =i记：vAt = Axmg sin 以Aq = I At
