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1、导数知识点归纳及应用知识点归纳一、相关概念1 .导数的概念函数y=f(x),如果自变量X在Xo处有增量X,那么函数y相应地有增量y=f(Xo+X)f(Xo),比值-y叫做函数y=f(x)在Xo到x0+x之间的平均变化率，即X上二也0x)f(Xo)o如果当X0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点Xo处XXX可导，并把这个极限叫做f(x)在点Xo处的导数，记作f(Xo)或yIxxo。即f(X。)=iimim坦x)f(Xo)oXoxXox说明：(1)函数f(x)在点Xo处可导，是指Xo时，/有极限。如果，不存在极限,XX就说函数在点Xo处不可导，或说无导数。(2)X是自变量x在Xo处的改变量，X
2、o时，而y是函数值的改变量，可以是)I二夺。由导数的定义可知，求函数y=f(x)在点xo处的导数的步骤：求函数的增量y=f(xo+x)-f(xo);求平均变化率=止0x)f(Xo)；XX取极限，得导数f(Xo)=limxox例:设f(x)=x|x|,则f(o)=.解析:lim1(0X)f(o)limflim!lim|x|of(o)=oxoxoxoxoXXX2.导数的几何意义函数y=f(x)在点xo处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(xo,f(xo)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x。，f(x。)处的切线的斜率是f(x。)。相应地，切线方程为y-yo=f/(x。)(x-
3、xg)例：在函数yX38x的图象上，其切线的倾斜角小于浮点中，坐标为整数的点的个数是A. 3B. 2C. 1D. 0解析:切线的斜率为ky/3x28又切线的倾斜角小于即0故03x281解得：3x故没有坐标为整数的点3,导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s(t)。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v，(t)o例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()答：A。练习：已知质点M按规律s2t23做直线运动(位移单位：GR1时间单位：s
4、)。(1)当t=2,t0,01时，求-s;(2)当t=2,t0.001时，求一;(3)求质点M在t=2时的瞬时速度。答案：(1)8.02cm/(2)8.002cm/;(3)8c久、导数的运算1.基本函数的导数公式C0;(C为常数)xnnxn1;(sinx)cosx;(cosx)sinx;(ex)_x.e;(ax)axlna; Inx1;x1 lOgaxlOgae.x例1:下列求()1 1A.(x+1)1gBxxC.(3x)=3xlog3eD解析:A错，.(x+1)13xx导运算正.(log2x)1xln2(x2cosx)=-2xsinxB正确,C错，.(3x)=3xln3D错，.(x2cosx
5、)=2xcosx+x2(-sinx)例2：设f0(x)=sinx,fi(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),，fn+1(x)=fn(x),n6N,则f2005(x)=A.sinxB.一sinxC.cosx一cosx解析:fo(x)=sinx,fi(x)=f(/(x)=cosx,f2(x)=f(x)=-sinx,f3(x)=f2/(x)=-cosx,f4(x)=f3(x)=sinx,循环了则f2005(x)=fi(x)=cosx2.导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(uv)uv.法则2:两个函数白积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个
6、函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)uvuv.若C为常数，则(Cu)CuCu0CuCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu)Cu.法则3:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：uR叱(v0)。vv例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)U(3,+s)B.(-3,0)U(0,3)C.(-巴-3)U(3,+s)D.(-s,-3)U(0,3)解析:当x0,即f(x)g(x)/0当x0时，f(x)g(x)为增函数，又g(
7、x)是偶函数且g(3)=0,.飞尸。，.(-3)9(-3)=0故当x3时，f(x)g(x)0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0故当0x3时，f(x)g(x)求导一一回代。法则：y，|X=y/|u,u7|x或者练习:求下列各函数的导数:(1)xx5sinxy2;x(2)(x1)(x2)(x3);(3)x2xsin12cos；解：(1)y125x2xsinxx23sinxx73.y，(x2)(x3)(x2sinx)53x23x22x3sinxx2cosx.2(2) y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,.y=3x2+12x+11.(3) ,V=.xx1sin
8、cossinx,2221ysinx21,.、1(sinx)cosx.22(4)1Vx1Vx2(1x)(1.x)1x2(1x)2(1x)2(1x)2三、导数的应用1 .函数的单调性与导数(1)设函数yf(x)在某个区间(a,b)可导，如果f(x)0,则f(x)在此区间上为增函数；如果f(x)0,则f(x)在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内恒有f(x)0,则f(x)为常数。例：函数f(x)x33x21是减函数的区间为()A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)函数f(x)X33x21是减函数的区间为(0,2)2.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极
9、大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3时取得极值，则a=()A.2B.3C.4D.5解析:f/(x)3x22ax3,又f(x)在x3时取得极值f/(3)306a0贝Ua=53.最值：在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值。但在开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值，例如f(x)x3,x(1,1)。(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区
10、间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例：函数f(x)x33x1在闭区间-3,0上的最大值、最小值分别是解析:由f(x)3x23=0,得x1,当x1时，f/(x)0,当1x1时，f/(x)0,故f(x)的极小值、极大值分别为f(1)3、f(1)1,而f(3)17、f(0)1故函数f(x)x33x1在-3,0上的最大值、最小值分别是3、-17。经典例题选讲例1.已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中
11、f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中yf(x)的图象大致是()解析:由函数yxf(x)的图象可知：当x1时，xf(x)0,此Mf(x)增当1x0时，xf(x)0,f(x)0,此时f(x)减当0x1时，xf(x)0,f(x)0,f(x)0,此时f(x)增故选C例2.设f(x)ax3x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间解：f(x)3ax21若a0,f(x)0对x(,)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾若a0,f(x)10x(,),f(x)也只有一个单调区间，矛盾f(x)3a(xa0且单调减区间为(-y)(x1L),止匕时f(x)恰有三个单调区间,3|a|3|a
12、|J)和(上，)，单调增区间为(L).3|a|,3|a|.3|a|,3|a|例3.已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P(0,2),且在点M(1,f(1)处的切线方程为6xy70.(I)求函数yf(x)的解析式；(H)求函数yf(x)的单调区间.解：(I)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,所以f(x)x3bx2cx2,由在M(1,f(1)处的切线方程是6xy70,知故所求的解析式是f(x)x33x23x2.(n)f(x)3x26x3.令3x26x30,即x22x10.解得xi1V2,x212.当x1衣,或x1/时，f(x)0;当12x1、,2时，f(x)0.故f(x)x33x2
13、3x2在(,1户)内是增函数，在(1J2,1、内是减函数，在(1叵)内是增函数.例4.设函数fxx3bx2cx(xR),已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。(I)求b、c的值。(H)求g(x)的单调区间与极值。解：(I);fxx3bx2cx,.fx3x22bxc。从而g(x)f(x)f(x)x3bx2cx(3x22bxc)=x3(b3)x2(c2b)xc是一个奇函数，所以g(0)0得c0,由奇函数定义得b3;(H)由(I)知g(x)x36x,从而g(x)3x26,由此可知，(,历和(乏，)是函数g(x)是单调递增区间；(V2,V2)是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在xg时,取得极大值，
14、极大值为48,g(x)在x五时，取得极小值，极小值为4五。例5.已知f(x)=x3ax2bxc在x=1,x=2时，都取得极值。3(1)求a、b的值。若对x1,2,都有f(x)1恒成立，求c的取值范围。c解：(1)由题意f/(x)=3x22axb的两个根分别为1和-3由韦达定理，得：12=生，b1(2)33331贝Ua-,b22(2)由(1),有f(x)=x31x22xc,f/(x)=3x2x2当x1,2)时,f/(x)0,当x(2,1)时,f/(x)0,当x(1,2时,f/(x)0,L33当x2时，f(x)有极大值强c,f(1)1c,f(2)2c,3272.当x1,2,f(x)的最大值为f(2)2c对x1
