排列组合解题技巧归纳总结

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1、1排列组合解题技巧归纳总结教学内容1 .分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有mi种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2 L mn种不同的方法.2 .分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有mi种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，, 做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N mi m2 L mn种不同的方法.3 .分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一

2、个阶段，不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1 .认真审题弄清要做什么事2 .怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及 多少类。3 .确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元 素.4 .解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一 .特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C3然后排首位共有c4最后排其它位置共有a3

3、由分步计数原理得C4c3A3 288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？二 .相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有a5a；a2 480种不同的排法练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三 .不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节

4、目的出场顺序 有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A：种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A：不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有 A5A4 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ， 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数

5、是：A7/A3（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A：种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有A；种方法。思考：可以先让甲乙山就坐吗？（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ Ci5o五.重排问题求幕策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 乙种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7种分依此类推，由分步计数原理共有76种不同的排法练习题：1 .某班新年联欢会原定的5个节目已

6、排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目 插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422 .某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法78六 .环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A4并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1 ）!种排法即7 !-000000000ABCDEFGHA练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七 .多排问题直排策略例7.8人排成前后两排，每排4人,其中甲乙在前排，内在后排，共有多少排法解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，

7、可以把椅子排成一排.个特殊元素有A4种，再排后4 个位置上的特殊元素内有 A；种，其余的5人在5个位置上任意排列有A；种，则共有A4A4A5种练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八 .排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C；种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入 4个不同的盒内有A4种方法，根据分步计数原理函求的方法共有 C52A4练习题：一个班有6名战士，其中正副

8、班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一 种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种九 .小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？解：把1 , 5 , 2 , 4当作一个小集团与3排队共有 A2种排法，再排小集团内部共有 A2A2种排法， 由分步计数原理共有A2A2A2种排法.练习题：1 .计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A2A5A42. 5男生和5女生

9、站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有A2A5A5m十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 C；种分法olo o|o|o o|o|o o|o练习题：1.10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？C；2 . x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数CK十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其

10、和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数含有3个偶数的取法有C53,只含有1个偶数的取法有C5C52,和为偶数的取法 共有C5C2 C3。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C2 C3 9 练习题：我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种？十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？解：分三步取书得C2C：C2种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为ABCDEF若第一 步取 A

11、B,第二步取 CD,第三步取 EF该分法记为(AB,CD,EF),则C2C2C；中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A；种取法，而这些分法仅是 (AB,CD,EF) 一种分法，故共有C2c2C；/ A3种分法。练习题：1将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？ （ C；3C；C：/a2）2.10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法 （1540）3 .某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则

12、不同的安排方案种数为 （C2C；A2/A2 90）十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴 舞的节目，有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C3C2种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员c5c3c2 种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有CC：种，由分类计数原理共有八2c 2八1八八2 八2c 2上C3 c 3C5 c 3c 4C 5 c5 种。练习题：1 .从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既

13、有男生又有女生， 则不同的选法共有32 . 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人，他们任选2 只船或3只船，但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.（27）本题还有如下分类标准：* 以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准* 以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准* 以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四.构造模型策略例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在 6盏亮灯的5个空隙

14、中插入3个不亮的灯有C；种练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内， 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有C；种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如 果剩下3,4,5号球，3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5 号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原理有2C；种练习题：1 .同一寝室4人,每人

15、写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（9）2 .给图中区域涂色，要求相邻区 域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有72种十六.分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=2X 3X5 X 7 X 11 X13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：C5 C52 C； C4 C5练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C； 12 58,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3 58 174对异面直线十七.化归策略例17. 25人排成5X5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少解：将这个问题退化成9人排成3X3方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有 多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后，把这人所在的行列都划掉，如此继续下 去.从3X3方队中选3人的方法有C1C2。种。再从5X5方阵选出3X3方阵便可解决