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1、龙文教育学科教师辅导讲义课题第一章圆的性质（5-6节）圆的有关计算教学目标能够运用弧长、扇形面积公式进行有关计算重点、难点灵活公式进行有关计算考点及考试要求教学内容、知识梳理：1. 圆周长：C = 2冗r圆面积：S =代r22. 圆的面积C与半径R之间存在关系c = 2冗r，即360的圆心角所对的弧长，因此，1的圆心角所 对的弧长就是2R。360n的圆心角所对的弧长是nR-180n兀RpA 1 = 180 120*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形
2、面积也就越大。4.在半径是R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积s = nR2，所以圆心角为n 的扇形面积是：s = n兀R2 = 11R （n也是1的倍数，无单位）扇形36025. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面, 如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。如图，从点s向底面引垂线，垂足是底面的圆心0,垂线段S0的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥 的顶点。锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线S0旋转一周 得到的图形就是圆锥。其中旋转轴S0叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆
3、的圆心，并且垂直于底面。 另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA、SA、都叫做圆锥的母线，显然，圆1 2锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P1226. 圆锥的性质由图可得(1) 圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；(2) 圆锥的母线长都相等7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是 圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积是扇形面积。如果设扇形的半径为L，弧长为C，圆心角为N (如图)，则它们之间有如下关系:180同时，如果设圆锥底面半径为R，
4、周长为C，侧面母线长为L那么它的侧面积是:1S= c l =兀 r l圆侧面 2圆锥的全面积为：兀r / + n r2圆柱侧面积：2nrh。8、阴影部分的面积：1）规则图形：按规则图形的面积公式去求；2）不按规则图形：采取“转化”的 数学思想方法，把不规则图形的面积采取“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则 图形面积。典例剖析:例：1、在。中，120的圆心角所对的弧长为80ncm，那么。的半径为cm。答案：120 解：由弧长公式：i = nnR得：180180 l 180 x 80 nR = 120 cmn n120 n例：2、若扇形的圆心角为120 ，弧长为10 ncm，则
5、扇形半径为，扇形面积为答案：15； 25 n例：3、如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角 为。答案：90例4：已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为cm。答案：7例5:两个同心圆被两条半径截得的AB = 10n，CD = 6n，又AC=12,求阴影部分面积。ABD0101T解：设 OC=r，则 OA=r+12，ZO=nn n (r + 12)l = 10 nAB180n n rl = 6 ncd 180n = 60r = 180C=18，OA=OC+AC=30S = S - S阴扇AOB扇COD1 1=l - OA 一 l - OC
6、CCABCD11=X 10 兀 X 30 X 6 兀 X 1822=96 n例6：如图，已知正方形的边长为a,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。解：正方形边长为aS = a2， s= nR2 =正半圆2S2S= S正方形半圆两个空白处1S=a2 2 xn a2 =两个空白处8S=2S=2a2 -四个空白处2个空白S = SS=a2 阴正四个空白处1a()2211(2a2 n a2) = n a2 a222叶的总面积为丄n a2 a22*也可看作四个半圆面积减去正方形面积1n a2 a221 a=4S半_ S正=4 xn(一)2 a22 2那么例7：已知AB、CD为。的两条弦，如果AB=
7、8, CD=6, AB的度数与CD的度数的和为180 圆中的阴影部分的总面积为？解：将弓形CD旋转至B,使D、B重合如图，C点处于E点d EABE 的度数为180AE是0O的直径ZABE=90又.AB=8, BE=CD=6由勾股定理 AE82 + 6210S厂S半圆-SA ABE1 125 兀=n x 52 - 8 x 6 = 242 2 2例8：在厶AOB中，ZO=9O, 0A=0B=4cm,以O为圆心，OA为半径画AB，以AB为直径作半圆，求 阴影部分的面积。o&解：VOA=4cm，ZO=90S扇形AOB=4 n cm360AB = O 2 cmS = 8(cm2)，A AOB半圆22=4
8、 n(cm 2 )S= S弓形AmB扇形AOBSA AOB=(4n 一 8)(cm 2)则阴影部分的面积为:S 阴影=S 半圆一 S 弓形 AmB = 4 n- (4 n- 8)= 8(曲)例9：、Q是边长均大于2的三角形，四边形、凸n边形，分别以它们的各顶点为 圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，(1) 图中3条弧的弧长的和为图中4条弧的弧长的和为(2) 求图Q中n条弧的弧长的和(用n表示)解：(l)n, 2 n(2)解法1:Vn边形内角和为：(n-2) 180前n条弧的弧长的和为：(n - 2)180 =丄山-2)个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长3602n条弧的弧长的
9、和为：2兀X 1 X丄(n - 2) = (n - 2)兀2解法2：设各个扇形的圆心角依次为贝U a O + a O + a O = (n 一 2)180 O12nn条弧长的和为：a 兀n X 1180a兀a 兀1 X 1 +2 X 1.+180180兀(a + a + a180 1 2兀= (n 2) x 180 180=(n - 2)兀例10:如图，在RtAABC中，已知ZBCA=90,ZBAC=30, AC=6m，把AABC以点B为中心逆时针 旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C处，那么AC边扫过的图形(阴影部分)的面积为？C?分析：在 RtAACB 中，ZC=90，ZBAC=30，
10、AB=61BC = AB = 3, Z CBA = 60。=AB 2 - BC 22BC -AC = - x 3 x 3ACSA ACBn 兀 r 2120 兀 x 6 2/. S= 12 兀扇 ABA 360360S扇形CBC120 兀 x 3 2360S = S+ S- S- S= 9 兀阴影扇 ABAA ACB扇 CBCA ACB法二：以B为圆心，BC为半径画弧交AB于D, AB于DA AC B=SA ACBS扇 CBD扇 CBD 120 兀 x 6 2120 兀 x 3 2扇 ABA 扇 DBD=12兀一 3兀=9兀360360例11：如图，已知RtAABC的斜边AB=13cm, 条直
11、角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆 锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？解：BC 八 13 2 - 52 = 12(cm)以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为:S 表=S 底 + S 侧=宀 122 + 宀 12 x 13 = 300 兀(cm2)以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。11CD x 13 = x 5 x 1222CD =13S = S 上 + S 下=Kx CD x BC 十 CD x AC6060=n x x 12 + 兀 x x 5 131360=n x x 17131020=n13例12： 个
12、圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240的扇形铁皮制作，再 用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为。答案：6例13:若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是。答案：2n例14：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为。答案：160例15:若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是答案：180例16:如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm,母线长50cm。(1) 画出它的展开图；(2) 计算这个展开图的圆心角及面积。弧长是圆锥底面周长(如图)解(1)烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长
13、,80 n cm(2)设扇形的半径为l弧长为c,圆心角为a,则l=50cm,180 c兀la兀l180 x 80兀=288 (度)18050 兀S 扇形=如=X 40 X 50 - 6280 (Cm2)例17： 个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。解：设圆锥底面半径为r,圆锥母线长为l扇形弧长(即半圆)为C,则由题意得2兀lc =, c = 2 兀 r22兀l即=2兀r,.l = 2r2在 RtAS0A 中，12 = r2 + 10 2由此求得r =空3 (cm ), l =型彳(cm )3故所求圆锥的侧面积为S圆侧疋rl十x10 f 320 7 3200 兀(cm 2)333例18：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9 “m2，高为3.5m, 外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？解： S = kr2,9 “ = “r2, r = 3片=4,.=让2 + r2 = 5 1iS = S + S锥柱=k r l +
