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1、函数性质的综合运用 编号08一、 考纲规定基本初等函数及函数的性质二、 复习目的：能灵活运用函数的性质解决有关问题三、 重点难点函数的性质的综合运用四、知识梳理及典例分析一).常用函数(基本初等函数）: 2.3. 45.幂函数: 6指数函数:7.对数函数：8.三角函数:,，,由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如:，,试着分析以上函数的构成。二)定义域：1.“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、换元时易忽视定义域。求定义域:例1求下列函数定义域:(1) （）三）值域：1. ; 函数的定义域和值域都是(b),求的值。小结：函数值域的计算能力规定高、考察频率高
2、,应当分类归纳，各个击破。四).单调性:1.单调性的证明:(1)定义法:例 判断函数的单调性，并用定义证明。单调性的简朴应用:例2 (）函数的单调增区间是_ 高考真题预测：已知是上的减函数,那么的取值范畴是（ ）（A） (B) (C)（D）解：依题意，有0a1且3a1,解得0a，又当7a-1,当x1时,ogax0,因此a0解得x故选C 例3函数对任意的，均有,并且当时，, 求证:在上是增函数；若,解不等式五）.函数的奇偶性:常用性质:1是既奇又偶函数； .奇函数若在处有定义，则必有; 3偶函数满足; 4.奇函数图象有关原点对称，偶函数图象有关y轴对称;除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇
3、函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数.任何函数可以写成一种奇函数和一种偶函数的和。例设是R上的任意函数,则下列论述对的的是 ()是奇函数 (B)是奇函数 ()是偶函数 （D） 是偶函数【解析】中则，即函数为偶函数,B中,此时与的关系不能拟定，即函数的奇偶性不拟定，中，即函数为奇函数,中，,即函数为偶函数，故选择答案D。例 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则 当时, .解：当(0，+) 时，有-x(-，0)，注意到函数(x) 是定义在 (-,+)上的偶函数,于是，有f（x）f（-)=-x-(-x）=-4 .从而应
4、填-x-x4例 已知定义域为的函数是奇函数。（)求的值;(）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范畴；解析：(）由于是奇函数，因此=0，即 又由f(1) f（-1）知 （）解法一：由（）知,易知在上为减函数。又因是奇函数,从而不等式: 等价于,由于减函数,由上式推得:即对一切有:，从而鉴别式练习:1、已知函数,若为奇函数，则_。解析：函数若为奇函数,则,即,=. 2、 若奇函数满足,则_六）函数的周期性:(一）要点:1（定义)若是周期函数,T是它的一种周期。阐明：nT也是的周期（推广)若,则是周期函数，是它的一种周期2.若定义在上的函数的图象有关直线和对称,则是周期函数,是它的一种周期(推论)若
5、定义在R上的偶函数的图象有关直线对称，则是周期函数,是它的一种周期3. 若定义在R上的函数的图象有关点和点对称，则是周期函数,是它的一种周期（推论）若定义在R上的奇函数的图象有关点 对称,则是周期函数，是它的一种周期4若定义在R上的函数的图象有关直线和点对称，则是周期函数，是它的一种周期(推论）若定义在R上的奇函数的图象有关直线对称，则是周期函数,是它的一种周期.若;则是周期函数,2是它的一种周期（二）例题解说:例6 函数对于任意实数满足条件,若则_。解:由得,因此,则。例 是定义在R上的偶函数,图象有关对称，对任意,有,且求；证明:是周期函数； 例9 已知定义在上的奇函数f（x)满足(x+2
6、)=-f(x）,则,(6)的值为(A) () 0 （C） 1 （)2解：由于f(x)是定义在R上的奇函数，因此f（）=0，又（+4）f(x+2）f（x)，故函数，f（)的周期为4，因此f(6)f（）=f（0)0,选B 练习1、已知函数是一种以4为最小正周期的奇函数，则（ ）A.B4C.4D.不能拟定2、已知 (x）是定义在实数集上的函数,且则f (） 3、 已知是()上的奇函数，,当0时，f(x）x，则f(7.5)_ 4已知是周期为2的奇函数，当时,设则(A) (B) （C) （D）解:已知是周期为2的奇函数，当时,设，,0，选D七）.函数的综合应用：1.二次函数：例1 已知函数在区间上有最小
7、值记为,求的函数体现式。例 若不等式2ax0对于一切x（0,成立，则a的取值范畴是( )A.0 B. .- .-3选C例6 设函数.（1）在区间上画出函数的图像；(2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；解：（1) （)方程的解分别是和，由于在和上单调递减,在和上单调递增，因此 由于. .函数方程例 已知定义域为R的函数满足 (I）若,求;又若,求; （II)设有且仅有一种实数，使得,求函数的解析体现式 例 对于函数f(x）,若f（x）=,则称x为f(x)的“不动点”,若,则称为f(x)的“稳定点”,函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即，.(1） 求证:AB;
8、(2）.若,且,求实数的取值范畴.证明（1).若=，则AB显然成立;若，设tA,则f(t）=t，f(f（t)f（t)=t,即t，从而 B. 解 (2）：中元素是方程f（x)即的实根. 由 ，知 a=0 或 即 B中元素是方程 即的实根由AB,知上方程左边具有一种因式，即方程可化为 因此，要A=B,即要方程 要么没有实根,要么实根是方程 的根.若没有实根,则，由此解得 若有实根且的实根是的实根，则由有，代入有 2+1=0由此解得 ，再代入得由此解得 .故 的取值范畴是 例 定义在集合A上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2A均有，则我们称函数是上的凹函数.()试判断=3xx与否是上的凹函数？（2)若函数=x2是R上的凹函数,求实数a的取值范畴解：（1）2分 f(x)=32+x是上的凹函数6分. （2)（文科）f(x)=ax2+x是R上的凹函数，即恒成立8分恒成立. a.12分. 四、 反思感悟五、 千思百练 1、已知函数若,则实数a的取值范畴是 2、若，则a的范畴 3、设奇函数在上为增函数，且，则不等式解集为_.4、定义在R上的偶函数满足:对任意的,有,则由小到大的顺序是 5、有关函数有下列命题：其图像有关轴对称；的最小值是;的递增区间是;没有最大值其中对的是_(将对的的命题序号都填上）
