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1、高纲1882江苏省高等教育自学考试大纲27961 高等数学 南京工程学院编（2021年）江苏省高等教育自学考试委员会办公室 课程的性质及其设置的目的和要求一、课程的性质、目的和任务：“高等数学”工科各专业自学考试计划中的一门重要的基础理论课程，是学好后续课程的必修课。它作为工程教育中的一个重要内容，目的在于培养工程技术人员必备的基本数学素质。通过本课程的学习，使学生理解微积分中极限、导数、积分等基本概念；掌握基本的运算技巧；使学生能用所学的知识去解决各种领域中的一些实际问题；训练学生数学推理的严密性，使学生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力，能用数学的语言描述各种概念和现
2、象，能理解其它学科中所用的数学理论和方法；培养学生学习数学的兴趣，帮助学生养成自学数学教材和其它数学知识的能力，为以后学习其它学科打下良好的基础。二、课程的基本要求与重点本课程的基本要求为:1. 获得向量代数和空间解析几何的初步知识。2. 获得一元函数微积分学的系统的基本知识、基本理论和基本方法。本课程的重点是：一元函数的导数和积分的概念、计算及其应用。在学习过程中，要求考生在通读教材、理解和掌握所学基本原理知识及基本方法的基础上，结合习题进行练习，提高分析问题和解决问题的能力。 考核目标本课程自学考试大纲在考核目标中，按照识记、领会、简单应用和综合应用四个层次规定其应达到的能力层次要求。四个
3、能力层次是递升的关系，后者必须建立在前者的基础上。各能力层次的含义是：识记（）：要求考生能够识别和记忆本大纲中规定的有关知识点的主要内容（如定义、概念、公式、原理、重要结论、方法及特征、特点等），并能够根据考核的不同要求，做出正确的表述、选择和判断。领会（）：要求考生能够领悟和理解本大纲中规定的有关知识点的内涵及外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能正确地解释说明和论述。能根据考核的不同要求对有关问题进行逻辑推理和论证，做出正确的解释、叙述和说明。简单应用（）：要求考生能够运用本大纲中规定的部分知识点，解决简单的计算、证明或应用问题。综合应用（）：要求考生能够运用本大纲中规定的多个知
4、识点，分析、计算或推导稍复杂一些的应用问题。 课程内容与考核要求第一章 空间解析几何 向量代数一、学习目的与要求空间解析几何是在平面解析几何的基础上发展起来的，主要是在空间直角坐标系中研究数和形结合的基本问题；向量代数是以向量为工具，用代数方法研究几何问题，应深刻理解向量的基本概念及几何意义。通过本章的学习，使学生了解曲面方程和空间曲线方程的概念，理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；了解两个向量垂直、平行的条件；掌握平面方程及其求法。二、课程内容 曲面方程和空间曲线方程的概念；向量的概念及其运算；平面方程的概念及其求法。三、考核的知识点1. 常见曲面、曲线方程2
5、. 向量的概念、向量的线性运算3. 平面方程四、考核要求1. 识记曲面方程和空间曲线方程的概念2领会向量的概念及其运算3. 简单应用平面方程及其求法五、本章重点和难点重点：向量的运算、平面方程及其求法难点：向量的向量积及其运算律第二章函数 极限 连续一、学习目的和要求函数是高等数学中最基本的概念之一，它从数学上反映各种实际现象中量与量之间的依赖关系，是微积分的主要研究对象；极限理论是微积分学的基础，微积分中的基本概念都是借助极限方法描述的；连续函数是使用最为广泛的函数，所以学好本章为以后的学习奠定必要的基础。通过本章的学习，使学生理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示
6、法；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；熟悉基本初等函数及其图形的性态；掌握函数的复合和分解；知道什么是初等函数；理解函数的几种简单形态；能对比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系；理解极限和无穷小量的概念，知道它们之间的关系；熟悉掌握极限的运算法则；掌握无穷小量的基本性质；清楚无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；能熟悉运用两个重要极限；理解无穷小量的比较和高阶穷小量的概念；理解函数的连续性和间断点；知道初等函数的连续性；清楚闭区间上连续函数的基本性质；了解二元函数的概念。二、课程内容一元函数、极限、函数的连续性、二元函数的基本概念；函数的简单形态；数列的极限；函数的极限及运算法则；两个
7、重要极限；无穷小量的比较；闭区间上连续函数的基本性质。三、考核的知识点1. 一元函数的定义及其图形2. 函数的表示法3. 函数的简单形态4. 函数的复合与分解5. 初等函数.6. 简单函数关系的建立.7. 数列及其极限.9. 函数极限及其运算法则和两个重要极限.10.无穷小量及其性质和无穷大量.11.无穷小量的比较.12.函数的连续性概念和连续函数的运算.13.函数的间断点.14.闭区间上连续函数的性质.四、考核要求1. 识记函数的表示法2领会2.1一元函数的定义及其图形2.2数列及其极限2.3闭区间上连续函数的性质3. 简单应用3.1函数的几种简单形态3.2简单函数关系的建立3.3初等函数的
8、构成3.4无穷小量及其性质和无穷小量的比较3.5函数的连续性和连续函数的运算4. 综合应用4.1函数的复合运算的含义及可复合的条件，复合函数的定义域，复合函数的分解4.2极限的运算法则和两个重要极限五、本章重点和难点重点：极限和无穷小量的概念，极限的运算法则，两个重要极限及其应用，函数的连续性难点：极限概念第三章微分学一、学习目的和要求函数的导数和微分是由于解决实际问题（如求曲线的切线和运动的速度等）的需要而建立起来的，是微分学中最重要的概念，这两个概念密切相关，它们在科学和工程技术中有极为广泛的应用。通过本章的学习，使学生理解导数和微分的定义，清楚它们之间的关系；知道导数的几何意义和作为变化
9、率的实际意义；知道平面曲线的切线方程和法线方程的求法；理解函数可导与连续之间的关系；熟练掌握函数求导的各种法则，特别是复合函数的求导法则；熟记基本初等函数的求导公式并能熟练地运用各种求导法则计算函数的导数；清楚高阶导数的定义；熟练掌握微分的基本公式和运算法则。知道微分中值定理；熟练掌握求各种未定式的极限的洛必达法则；会用导数的符号判定函数的单调性；理解函数的极值概念并掌握其求法；清楚函数的最值及其求法并能解决简单的应用问题；了解曲线的凹凸性和拐点的概念，会用函数的二阶导数判定曲线的凹凸性和计算拐点的坐标，会求曲线的水平和铅直渐近线。二、课程内容导数、微分的概念；导数和微分的求法；导数的应用。三
10、、考核的知识点1. 导数的定义及其几何意义2. 平面曲线的切线和法线3. 函数可导与连续的关系4. 导数的四则运算法则5. 复合函数微分法6. 参数方程所表示的函数的微分法7. 隐函数微分法9. 高阶导数10.多元函数的偏导数11.函数单调性的判定和极值与最值的求法12.曲线的凹凸性判断和拐点的求法13.曲线的渐近线14.未定型的极限 洛必达法则四、考核要求1. 识记多元函数的偏导数及其应用2领会2.1导数的定义及其几何意义和实际意义2.2函数可导与连续的关系2.3高阶导数2.4曲线的渐近线3. 简单应用3.1平面曲线的切线和法线3.2参数方程所表示的函数的微分法3.3 隐函数微分法3.4函数
11、单调性的判定3.5曲线的凹凸性和拐点4. 综合应用4.1可导函数的和、差、积、商的求导法则 4.2复合函数微分法4.3洛必达法则4.4函数的极值及其求法4.5函数的最值及其应用五、本章重点和难点重点：导数和微分的定义及其相互关系；导数的几何意义和作为变化率的实际意义，函数的微分法；洛必达法则的应用；函数单调性的判定；函数的极值、最值的求法和实际应用难点：复合函数微分法，函数最值的应用第四章 积分学一、学习目的和要求一元函数积分学是微积分学的号一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，而定积分则源于曲边图形的面积计算和已知物体运动的速度求行走的路程等实际问题，与微分学一样，积分学也有广
12、泛的应用。通过本章的学习，使学生理解原函数和不定积分的概念，清楚微分运算和不定积分运算之间的关系；理解定积分的概念及其几何意义，熟悉不定积分和定积分的基本性质；了解定积分的积分中值定理；理解变上限积分及其求导公式；掌握牛顿莱布尼茨公式；熟记基本积分公式；熟练掌握不定积分和定积分的变量置换法和分部积分法，并能熟练地运用它们计算不定积分和定积分；清楚无穷区间和无界函数反常积分的定义，在比较简单的情况下会依据定义判别它是否收敛并在收敛时求出其值；会用定积分解决较简单的几何问题和实际问题。二、课程内容不定积分和定积分的概念，不定积分和定积分的计算，定积分的应用。三、考核的知识点1.原函数和不定积分的概
13、念及不定积分的基本性质2.基本积分公式3.不定积分的变量置换积分法4.不定积分的分部积分法5.定积分概念及其几何意义6.定积分的基本性质和中值定理7.变上限积分与牛顿莱布尼茨公式8.定积分的变量置换积分法和分部积分法9.反常积分10.定积分的几何应用四、考核要求1. 识记积分中值定理2领会2.1原函数和不定积分概念及不定积分的基本性质2.2定积分概念及其几何意义2.3定积分的基本性质3. 简单应用3.1不定积分的变量置换积分法和分部积分法3.2定积分的变量置换积分法和分部积分法3.3 反常积分4. 综合应用4.1变上限积分与牛顿莱布尼茨公式 4.2定积分的几何应用五、本章重点和难点重点：不定积
14、分和定积分的概念及其计算，变上限积分与牛顿莱布尼茨公式，定积分的应用难点：求不定积分，定积分的应用第五章 微分方程一、学习目的和要求 微分方程的理论和方法几乎是与微积分同时发展起来的，具有广泛的实际应用。通过本章的学习，使学生了解微分方程及其阶、解、通解、初值条件和特解等概念；掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；理解线性微分方程解的性质及解的结构，了解二阶常系数齐次线性微分方程的解法。二、课程内容微分方程的概念，可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法，二阶线性微分方程解的结构及二阶线性常系数齐次微分方程的解法。三、考核的知识点1.微分方程的基本概念 2.可分离变量的微分方程
15、3.一阶线性微分方程4.二阶常系数齐次线性微分方程四、考核要求1. 识记高阶线性常系数微分方程2领会2.1微分方程的基本概念2.2可分离变量的微分方程的解法2.3一阶线性微分方程的解法五、 本章重点和难点重点：一阶线性微分方程及其解法，二阶线性常系数齐次微分方程及其解法难点：二阶线性常系数齐次微分方程及其解法第六章 无穷级数一、学习目的和要求无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质和进行数值计算方面的重要工具。通过本章的学习，使学生理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数收敛与发散的条件；掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与
