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1、2.4质点的圆周运动刚体平面平行运动与定轴转动241、质点的圆周运动xyOPR图2-4-1(1)匀速圆周运动如图2-4-1所示，质点P在半径为R的圆周上运动时，它的位置可用角度表示（习惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：质点P的速度方向在圆的切线方向，大小为（或v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度）。向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。(2)变速圆周运动 （或v）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化
2、快慢的物理量为角加速度质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速度增量分解为与平行的分量和垂直的分量，如图2-4-2。相当于匀速圆周运动个的,的大小为PR图2-4-2=质点P的加速度为其中就是切向加速度和法向加速度。为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有(3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图2-4-3一个质点A在t=0时刻从x正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x方向上OAR图2-4-3在y方向上： 从x和y方向上的位移、速度和加速度时间t表达的参数方程可以看出：匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差
3、242、刚体的平面平行运动刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对象。刚体的平面平行运动，常有两种研究方法：一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心S（简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。ABSAS（a） （b） 图2-4-4确定瞬心的方法有两种：如图2-4-4(a)所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如图2-4-4(
4、b)所示，已知截面转动的角速度及截面上某一点A的速度，则在与速度垂直的直线上，与A点距离为的点即为瞬心。注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。243、刚体的定轴转动刚体运动时，刚体上或其延展部分有一根不动直线，该直线称为定轴，刚体绕这一轴转动。刚体作定轴转动时，其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，各点作圆周运动的半径不同，在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的垂直距离不同而不同。244、一些求曲率半径的特殊方法xypQ如图2-4-5先看椭圆曲线，要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方法：(1)将椭圆看成是半径R
5、=A（设AB）的圆在平面上的投影，圆平面和平面的夹角满足关系式（如图2-4-5）设一个质点以速率v在圆上做匀速圆周运动，则向心加速度，从上图中可以看出，当顶点的投影在椭圆的长轴（x轴）上的P点时，其速率和加速度分别为： ， 当质点的投影在椭圆的短轴（y轴）上的Q点时，其速率和加速度分别为： 。因此椭圆曲线在P、Q的曲率半径分别为： QPABxy图2-4-6(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成，可以把椭圆的参数方程（设AB）（如图2-4-6） 可改写为 即可进一步写出x，y二个方程的速度v和加速度a：那么在长轴端点P处（）的曲率半径：在短轴端点Q处（）的曲率半径xy图2-4-7再把抛物线y=Ax
6、，要求其任意一点的曲率半径（如图2-4-7）因为抛物线可以写作参数方程其中，这样就可以导出 对任意一个t值： v=a=acos=a所以这一点的曲率半径将t=代入，可得 因为，所以抛物线y=Ax上任意一点的曲率半径4.4 功和功率441功的概念sF0图4-4-1力和力的方向上位移的乘积称为功。即 式中是力矢量F与位移矢量s之间的夹角。功是标量，有正、负。外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。 对于变力对物体所做功，则可用求和来表示力所做功，即 也可以用F=F（s）图象的“面积”来表示功的大小，如图4-4-1所示。 由于物体运动与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中
7、，功的大小可以有不同的数值，但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移，相对位移是与参照系无关的。值得注意的是，功的定义式中力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如下几种处理方法：（1）微元法；（2）图象法；（3）等效法。442. 几种力的功下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。 具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力，如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有这种特点的力称为非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。（1）重力的功重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力，所以从高度处将重力为mg的物移到高处。重力做功为：，显然与运动路径无关。（
8、2）弹簧弹力的功图4-4-2 物体在弹簧弹力F=-kx的作用下，从位置运动至位置，如图4-4-2（a）所示，其弹力变化F=F（x）如图4-4-2（b）所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“面积”表示，功大小为（3）万有引力的功 质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对距离运动至相对距离的过程中，引力所做功为 443.功率作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率，表达式为求瞬时功率，取时间则为式中v为某时刻的瞬时速度，为此刻v与F方向的夹角45 动能 动能定理451 质点动能定理质量m的质点以速度v运动时，它所具有动能为: 动能是质点动力学状态量，当质点动能发生变化时，是由于外力对质点做了功
9、，其关系是: W外=上式表明外力对质点所做功，等于质点动能的变化，这就是质点动能定理。452质点系动能定理 若质点系由n个质点组成，质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其它质点对它作用力（内力），在质点运动时，这些力都将做功。设质点系由N个质点组成，选取适当的惯性系，对其中第i个质点用质点动能定理外+内=对所有n个质点的动能定理求和就有 外+内= 若用W外、W内、分别表示外、内、则上式可写成W外+ W内=-由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就是质点系动能定理。和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，但质点系动能定理中的W
10、内一项却是和所选的参照系无关的，因为内力做的功取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十分有效。46 势能461 势能 若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即 W保=。（1）势能的相对性。 通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。（2）势能是属于保守力相互
11、作用系统的，而不是某个质点独有的。（3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。462 常见的几种势能（1）重力势能 在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为 （2）弹簧的弹性势能 取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx，弹力做的功为 由前面保守力所做功与势能变化关系可知 （3）引力势能 两个质点M、m相距无穷远处，规定，设m从无穷远处移近M，引力做功W，由于F引=，大小随r变化，可采用微元法分段求和方式。如图4-5-1，取质点n由A到B，位移为，引力做功很小，、差异很小，则由无穷远至距r处，引力功W为 图4-6-1开始时，最后相对距离为=r又有 质点与均匀球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能为 rR R为球半径 质量M，半径为R的薄球壳，由于其内部引力合力为零，故任意两点间移动质点m，引力均不做功，引力势能为恒量，所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为 =
