苏教版一轮复习双曲线导学案

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1、【知识梳理】1 .双曲线的定义平面内与定点Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|FiF2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2 .双曲线的标准方程和几何性质标准方程2 x-2 - a6 i(a0, b0)2 X百=i(a0, b0)图形x范围x a 或 xw a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原占八、顶点Ai(-a,0), A2(a,0)Ai(0, a), AM a)渐近线J3 y=匕x a-性质离心率e= a，eC (i, 十0 ),其中 c=a2+ b2实虚轴线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长|AiA2|=

2、R；线段旦逅叫做双曲线的虚轴，它的长|BiB2尸如；a叫做双曲线的实半轴长， b叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为组aa、b、c的关系c2= a2+ b2(ca0, cb0)【基础自测】i ,若双曲线方程为x2-2y2=i,则它的左焦点的坐标为解析：二.双曲线方程可化为 x2y2=i, .a2=i, b2/.c2=a2+b2=3, c= 2，左焦点坐标为建。）22若双曲线yj的一个焦点为（2，。）,则它的离心率为解析:依题意得a2+i=4, a2= 3,故e=02=夫=2333.设Fi, F2是双曲线x222y4= i的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PFi|=4

3、|PF2|,则 PFiF2的面积等于解析:由 P 是双曲线上的一点和3|PFi|= 4|PF2|可知,|PFi|PF2|=2,解得 |PFi|= 8, |PF2|= 6.又|FiF2|学习好资料欢迎下载1=2c= 10,所以 PFf2为直角二角形，所以 PFf2的面积S= /X 6X8=24.4.双曲线与一y2 = 1(a0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为 . a2 i _解析：由题意a= q 1 +弓；=2，得a=号,故渐近线方程是 3xiy=0,即y= /3x.5.已知Fi(0, 5), F2(0,5), 一曲线上任意一点M满足|MFi|MF2|=8,若该曲线的一条渐近线的斜率为

4、k,该曲线的离心率为e,则|k|e=.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，c 544-5 5c=5, a=4, .b=3, e=a=4, 1k|= 3.|k| e= 3X7=3.说明：1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.双曲线的离心率e1;椭圆的离心率 eC (0,1).：= Jbp= T =加2=1.可以看出，双曲线的渐2 .渐近线与离心率：x y2=1(a0, b0)的一条渐近线的斜率为 a b1e0时，e=42(亦称为等轴双曲线);近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.注意当ab0时，双曲线的离心

5、率满足当 ba0 时，eV2.3 .直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.【考点探究】考点一双曲线的定义及标准方程22例1已知双曲线C: x2- y2= 1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上，则 C的方程为 a b(2)已知双曲线x2y2=1,点F1, F2为其两个焦点，点 P为双曲线上一点，若 PF11PF2,则IPF1I 十 |PF2|的值为.解(1) .X2-y2 = 1 的焦距为 10, .c=5 = /a2+b2.a b又双曲线渐近线方程为y=x,且P

6、(2,1)在渐近线上，2b=1,即a = 2b.由解得a=2加，b = J5.故C的方程为宾一y = 1. 20 5(2)不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1IPF2,所以(242)2= |PF1|2+|PF2|2,又因为 |PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|PF2|)2=4,可得 2|PF1|PF2|= 4, 则(|PF1|十|PF2|)2= |PF1|2+|PF2|2+2|PF1| |PF2|=12,所以 |PF1|+|PF2|=23.【由题悟法】1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点 (焦点)的距离之差的绝对值

7、为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的2.双曲线方程的求法:(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2+ny2= 1（mn0） .2X(2)与双曲线孑281有共同渐近线的双曲线方程可设为m2x2-n2y2= X f。）.F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|=9,2例2如图，F1, F2分别是双曲线C： 4 a解设双曲线的焦点坐标为F1（-c,0）, F2（c,0）. ,.B（0,x y b),FiB所在的直线为一c+b=1.双曲线渐近线为y= x,by=ax，acx y一/bibcc a J卜一I由$卜 c+b=ac bca+

8、 c a+ c . PQ的中点坐标为/ a2c92 a2bc24 .由 a2+ b2= c2 得,PQ的中点坐标可化为直线FiB的斜率为k=b,PQ的垂直平分线为y-令y= 0,得x=甘+ca2c ”,a2c|F2M=.,/日 ac由 |MF 2|= IF1F2I得b2；c 2 = 2c, 即 3a2=2c2, - e2= 1c a2【一题多变】若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为“且4v ”1,|PF2|=17.考点二双曲线的几何性质2*1(a, b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线FiB与C的两条渐近线分别交于 P, Q两点，线段PQ的垂直平分线与 x轴交于点M.若|MF

9、2|=|FiF2,则C的离心率是的离心率的取值范围.解：根据题意知1bvV3,即1Vqe2-1 43.所以0)或m= a,故离心率有ab两种可能.2 .解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用.2【以题试法】2. (1)已知双曲线上2y=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 5解析：由题意知口 3,故a2+5=9,解得a=2,故该双曲线的离心率e= f = |.2 X(2)已知双曲线孑2bz=1(a0, b0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为解析:设点P(m, n),依题意得，点F(2,0),由点P

10、在抛物线y2=8x上，且|PF|=5得寸7 2 = 5,由 n2=8m,此得m = 3n2= 24.于是有*-a2+ b2=4,9 241由此得a2= 1, b2=3,该双曲线的渐近线方程为y= x= /3x.考点三例3直线与双曲线的位置关系已知双曲线x2-y2= 1(ba0), O为坐标原点，离心率 e=2,点M45, V3)在双曲线上. a b(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于P, Q两点，且OP OQ=0.求|OP|2+|OQ?解(1) .e= 2, .-.c= 2a, b2= c2- a2=3a2,22双曲线方程为 $一3=1,即3x2-y2=3a2.的值.,点M(45,

11、柢在双曲线上，153 = 3a2/a2=4.，所求双曲线的方程为22x y -(2)设直线OP的万程为y=kx(kw0),联立；4一吃=1,得x2、123 k2-2212k2y =23 k2222 12(k2+1 )1.|OP|=x+y= k2 .则 OQ 的方程为 y=-x,同理有|OQ|213k2+(3k21 )2+2k23-3|OP|2+|OQ|212(k2+1)12(k2+1)16.【由题悟法】1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程.利用根与系数的关系，整体代入.3 .与中点有关的问题常用点差

13、/3x,焦点坐标为(一4,0), (4,0),则双曲线方程为解析：由题意可设双曲线方程为 x2-y2= 1(a0, b0),由已知条件可得1a b即c= 4,”,aa2+ b2= 42,a2 = 4,22故双曲线方程为x4-y2=1.3 12 .当 m=-2 .已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线*2 + (=1的离心率为解析：m2=16, m=乱故该曲线为椭圆或双曲线.当m=4时，-宗a；b4 时，e= c= a2 + b2=5.故离心率为坐或乖 a a2M, O, N将椭3 .如图，中心均为原点。的双曲线与椭圆有公共焦点，M, N是双曲线的两顶点.若圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是解析：设焦点为F(2,0),双曲线的实半轴长为a,则双曲线的离心率椭圆的离心率e2=21,所以,2.224.已知p是双曲线a2-b2=1(a0, b0)上的点，Fi,F2是其焦点，双曲线的离心率是5,且 PFi, PFZ,mn,则 m2+n2=0,若PF1F2的面积为9,则a+b的值为解析：由 PF-PF2 ,= 0 得 PFi/PF2,设 |PFi

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