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1、2013届高考一轮总复习教案 第九单元 解析几何-椭圆一【考纲要求】掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质二【考点解读】1.椭圆的定义是本节的核心内容在使用时要注意其中蕴含的条件；椭圆的标准方程和简单几何性质是高考的热点，特别是离心率，考查的频度较高。解题时，只需注意a,b,c的含义和关系即可解答；直线与椭圆的位置关系也是考查的重点之一问题涉及定点，定值，范围，最值等2.高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来
2、考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.3.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.三【要点梳理】1椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离 等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距用符号语言表示为：注：当2a|F1F2|时，P点的轨迹是 当2a|F1F2|时，P点的轨迹不存在(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数，且 的点的轨迹叫椭圆定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是
3、 2椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： .(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： 注：以上方程中的大小，其中；在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。3 椭圆的性质 / 四【例题精析】考点一:椭圆的定义例1(1)2011华南师大附中模拟 在直角坐标平面内，已知两点A(2,0)、B(2,0)，动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P.则点P的轨迹方程是()A.1 B.1 C.1 D.1(2)已知点P是椭圆上位于第一象限的点，且点P到椭圆左焦点的距离为8
4、，则线段的中点M到椭圆中心的距离是()A6 B4 C3 D2思路 根据几何关系，套用椭圆定义求解解析 (1)连接PB，因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，所以|PB|PQ|.又|AQ|6，所以|PA|PB|AQ|6，又|PA|PB|AB|，从而点P的轨迹是中心在原点，以A、B为焦点的椭圆，其中2a6，2c4，所以椭圆方程为.故选B.(2) 椭圆的长轴长为2a12，设椭圆右焦点为，依题意有|2a12.而|8，|4.连接OM，则OM，且|OM|，|OM|2，故选D点评 第(1)题通过对几何关系的分析，得出动点到两定点距离之和为常数，满足椭圆定义；第(2)题，利用椭圆定义，再结合三角形中位线得出结
5、论利用椭圆定义解题，关键是能否将题设条件通过推理、转化，变成符合椭圆定义的问题如下面的变式题：变式题 (1)已知动点M(x，y)，向量m(x3，y)，n(x3，y)，且满足|m|n|8，则动点P的轨迹方程是_(2)短轴长为2，离心率e的椭圆的两焦点分别为，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_解析 (1)由已知得8，即动点P到两定点M(3,0)、N(3,0)的距离之和为常数，且|PM|PN|MN|6，所以动点P的轨迹方程是椭圆，其中2a8,2c6，所以方程为1.(2)依题意有e21，所以a.由椭圆定义知，ABF2的周长为椭圆长轴长的2倍，所以周长为4a3.考点二椭圆标准方程例2. 求适合下列
6、条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；（2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；（3）焦点在轴上，；所以,椭圆的标准方程为点评 求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定型，再定量，即首先确定焦点的位置，再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，则要考虑是否有两解；若椭圆经过两个已知点，则可将方程设为变式题 (1)坐标轴为对称轴，且经过两点A(2,0)、B的椭圆的标准方程是_(2) 经过(3，2)点且与椭圆4x29y236有共同焦点的椭圆的标准方程是_思路 (1)不知道焦点的位置，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0)
7、，将已知点坐标代入，求出m，n的值；(2)可知c25，故可设椭圆方程为1. 解析 (1)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0)，因为椭圆经过点A(2,0)、B，所以解得所以所求椭圆方程为y21.(2) 椭圆4x29y236的焦点为(，0)，则可设所求椭圆方程为1，将x3，y2代入上式得1，解得b22(舍去)或b210.所以所求椭圆方程为1.考点三椭圆的几何性质例3(1)如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为_(2)椭圆(ab0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过点P所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_ 思路 (1)分椭圆的焦点在x轴或在y轴两种情况讨论(2)通过相切关系
8、和几何图形得出a、c之间的关系 解析 (1)当焦点在x轴上时，a2k80，b29，所以c2a2b2k10，所以k1，且e，解得k4；当焦点在y轴上时，a29，b2k80，c2a2b21k0，所以8kb0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且0，|2|，则其短轴长为()A. B. C. D.(2)2012葫芦岛联考 设斜率为的直线l与椭圆(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析 (1)依题意知，B、C关于原点对称，ACBC，且|BC|2|AC|，而|BC|2|OC|，所以|OC|AC|，所以点C
9、在线段OA的中垂线上又因为ACBC，所以AOC是等腰直角三角形，结合A(2,0)，于是得点C坐标为(1,1)或(1，1)设椭圆方程为1(b0)，将点C坐标代入，求得b，所以2b.故选B.(2)依题意知，直线l过原点，所以直线l的方程为yx，当xc时，yc，所以点在椭圆1(ab0)上，所以1，考虑a2b2c2，e，可得2e45e220，解得e22(舍去)或e2，所以e.考点四 椭圆的综合问题例4. 已知点P(3, 4)是椭圆1 (ab0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1PF2，求：(1) 椭圆的方程；(2) PF1F2的面积解：（1）法一：令F1(C，0)，F2(C，0) PF1PF
10、2， 1即，解得c5 椭圆的方程为 点P（3，4）在椭圆上， 解得a245或a25 又ac， a25舍去.故所求椭圆的方程为.法二：利用PF1F2是直角三角形，求得c5(以下同方法一)（2）由焦半径公式：| PF1 |aex334| PF2 |aex332 | PF1 | PF2 |4220变式题 2011安庆三模 如图502，已知椭圆M：(ab0)的左、右焦点分别为F1(2,0)、F2(2,0)，在椭圆M中有一内接ABC，其顶点C的坐标为(，1)，AB所在直线的斜率为.(1)求椭圆M的方程；(2)当ABC的面积最大时，求直线AB的方程思路 (1)利用椭圆定义求出a，于是可以求出b；(2)设出
11、直线AB的方程，代入椭圆方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出|AB|，再求出点C到直线AB的距离，于是可求出面积的表达式，再利用不等式求最值(1)由椭圆的定义知2a.解得a26，所以b2a2c22.所以椭圆M的方程为1.(2)由题意设直线AB的方程为yxm，由得2x22mx3m260.因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A，B，且点C不在直线AB上，所以解得2m2，且m0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2m，x1x2，y1x1m，y2x2m.所以|AB|2，点C(，1)到直线yxm的距离d.于是ABC的面积S|AB|d|m|，当且仅当|m|，即m时，“”成立所
12、以m时，ABC的面积最大，此时直线AB的方程为yx，即xy0.点评 本题以椭圆为载体，考查了椭圆的定义和标准方程，直线与椭圆的位置关系，涉及函数与方程思想以及不等式求最值的方法与椭圆有关的综合问题，常涉及以下几点：椭圆与直线的位置关系，解决方法是方程与函数思想；与解三角形相联系，解决方法是使用三角函数的相关性质和方法；最值问题，使用函数方法或不等式法求最值五 规律总结 方法提炼1求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可以根据条件用代入法2有关椭圆范围的不等式axa、byb，在求一些量的范围或最值时，是不可忽略的前提条件3求椭圆的离心率，应将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求得e的值或取值范围a、b、c、e的关系：e21，从而.4如图503所示的椭圆包含了椭圆的定义和简单几何性质：例如：ecosOF1B2；|OB2|2|OF2|2|B2F2|2，即b2c2a2.六 【课时作业】 听课手册P91 16题不做 -温馨提示：如不慎侵犯了您的权益，可联系文库删除处理，感谢您的关注！
