《2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.3椭圆及其性质练习文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.3椭圆及其性质练习文（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!9.3椭圆及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.椭圆的定义及其标准方程1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义进行解题2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程2017天津,20;2016天津,19;2015广东,8;2014大纲全国,15选择题、填空题、解答题2.椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质(如图形、范围、对称性等),并会熟练运用2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率2017课标全国,12;2017浙江,2;2016课标全国,5;2016课标全国,12;2015课标,5选择题、填空题、解答题3.
2、直线与椭圆的位置关系1.掌握直线和椭圆位置关系的判断方法2.理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题2017北京,19;2016课标全国,21;2016四川,20;2015北京,20;2014陕西,20选择题、填空题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数
3、、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为
4、3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=,所以FQN的面积为|FQ|QN|=,同理FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.五年高考考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m0)的左焦点为F1(
5、-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案B2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案A3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案124.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与
6、椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.解析(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得xB=,从而yB=.由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),=.由BFHF,得=0,所以+=0,解得yH=.因此直线MH的
7、方程为y=-x+.设M(xM,yM),由方程组消去y,解得xM=.在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+=+,化简得xM=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-或.5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=|PF1|,且,试确定椭圆离心率e的取值范围.解析(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此
8、2c=|F1F2|=2,即c=,从而b=1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,连接QF1,由PF1PQ,|PQ|=|PF1|,得|QF1|=|PF1|.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.于是(1+)|PF1|=4a,解得|PF1|=,故|PF2|=2a-|PF1|=.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而+=4c2,两边除以4a2,得+=e2.若记t=1+,则上式变成e2=8+.由,并注意到t=1+关于的单调性,得3t4,即.进而e2,即b0)的上顶点为B,
9、左焦点为F,离心率为.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|.(i)求的值;(ii)若|PM|sinBQP=,求椭圆的方程.解析(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=2.(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).(i)由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=
10、-.因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=.又因为=,及xM=0,可得=.(ii)由(i)有=,所以=,即|PQ|=|PM|.又因为|PM|sinBQP=,所以|BP|=|PQ|sinBQP=|PM|sinBQP=.又因为yP=2xP+2c=-c,所以|BP|=c,因此c=,得c=1.所以,椭圆方程为+=1.7.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的
11、圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点P在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-c
12、,y1=c,进而圆的半径r=c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4.所以直线l的斜率为4+或4-.教师用书专用(810)8.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案D9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形O
13、PTQ的面积.解析(1)由已知可得,=,c=2,所以a=.又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式=16m2+8(m2+3)0,所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3
14、-x2,m-y2).所以解得m=1.此时,S四边形OPTQ=2SOPQ=2|OF|y1-y2|=2=2.10.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A,B两点.若PAB的面积为2,求C的标准方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=,由+=42x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).(2)设C的标准方程为+=1(ab0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知+=1,并由得b2x2+4x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=.由点P到直线l的距离为及SPAB=|AB|=2得b4
