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1、我们如何教学-几何画板应用实例（一)北京知春里中学 曹致辉 北京知春里中学是全国中小学计算机教育研究中心“海淀区数学CAI课题组”的实验学校之一。在课题组负责人王鹏远教师的支持下,该学校曹致辉教师在每周上计算机学时让学生自己操作几何画板，并于随后应用于数学课堂之中。在通过了半年的实践之后,曹教师感触颇多。如下摘自她的一篇论文。 一、爱好是最佳的教师代云飞同窗：教师，什么时候再上计算机课？（每天都问一次）张阁同窗：都上三节课了,我还觉得上了一节课呢！（这时已是：3了）以上是摘录我的学生们的几段话,从一种侧面阐明了学生对几何画板的爱慕。我教的两个班，每周上12节几何画板课，学生们可喜欢了,一据说要
2、上课就欢呼起来。当我讲到有关几何画板知识时,所有同窗都听得极认真。“爱好是最佳的教师”，用几何画板学几何使学生对几何产生了强烈的爱好。二、有了问题就成功了一半孔硕同窗：教师,画平行线为什么要同窗定一点和一线？王楠同窗：调角的度数,为什么要调角两边上的点？差生本来是“没有问题”、,目前就数她们的问题多。越是几何知识掌握有偏差的同窗，画不出图来，自然是问题越多。每节几何画板课，我都要解决几种平时她们绝对不会问的问题。这些同窗中，有的是第一次问问题。从这些问题中可以发展学生理解错了什么几何基本知识。这是教师在老式教学中无法发现的。“有了问题就成功了一半”,用几何画板学几何使所有学生都开动了脑筋,也就
3、开始“好问”了。三、学习是个摸索的过程学习是个摸索的过程，就象人类在历史长河中获得知识的过程同样。几何的发展，是从大量具体的图像、生活中人们对图形的结识慢慢发展成为今天的几何学的(涉及几何图形、文字符号、几何证明等)。而我们的教学是在一节课就把人类上千年发展来的几何知识“教”给了学生，事实上学生明白和掌握了多少呢？好些的学生是生吞活剥,再加上理解着来,因此体现上看上去好象懂了；差些的学习则是不解其然,主线就不能理解。之后是练习，好学生照猫画猫，差些的只有听别的同窗讲或干脆抄一份了事。可当一要真正运用这些知识,所有学生都等教师先做个样子,否则就是不会用。举个例子来说,当让学生运用全等三角形鉴定定
4、理画全等形时，不管好的还是差的，全都不知该怎么办。她们会作练习，但并不真正懂得这些定理是什么意思。而几何画板把动态的图形第一次展目前学生的眼前,使她们有了一种沟通几何图形与几何符号、几何语言的工具,这是老式几何教学所做不到的。学了几何画板后,学生在课上运用几何知识时暴露出许多问题，例如不知如何拟定角、如何调节角的度数、如何画平行线、如何画两个相等的角等等。这事实上就是学生还不能真正理解这些概念的含义。如唐博男同窗，上课提问到她时始终问角答边、问边答角，事实上就是她不能理解边是什么、角又是什么。通过一种多月用几何画板作图，她再也不犯这种错误了。数学是什么（一）北师大将来教育研究中心桑新民提到数学
5、的本质，就波及到数学和物理、化学这些经验科学的关系。过去对数学的本质理解存在不少偏颇,觉得数学是世界的数量关系与空间关系的抽象。但事实上，这个定义是在用机械反映论的观点来定义数学的。这样一来,数学和物理就无法区别，由于物理也是对客体的反映。对于这个问题，皮亚杰的研究有一种突破。她辨别了两种经验,一种叫物理经验，一种叫数学逻辑经验。物理经验是对客体的抽象，而数学逻辑经验呢，自然界里没有，它是对人的活动、人的动作的反身抽象。心理学揭示出很重要的一种规律:小朋友在学数学时,都要以浓缩的形态再现整个人类的发展历程。人的数学从哪儿来的?是计数活动(例如结绳计数)才有的,然后才有几何。但是一旦这个东西形成
6、后来，它就形成了一种抽象的数学体系、几何体系、逻辑体系，并且分为几种部分。这样时间长了后来,就形成了一整套的系统理论。由于它有很大的普遍性，它可以推理,它就好象一种很奇怪的东西。我们好象在学这个东西。而学这个东西就形成了诸多公理、定理等,并且只要按照这个套,就不会错。所后来来一说数学,好象就是记住这些公理、定理，然后一套就行了。其实这样是不会懂数学的。没有操作、没有计数活动，小朋友学不会算术。因此开始一年级孩子学习算术时,一定要有经验支撑,并且开始一定要加具体的量，如一种苹果、一种梨。然后再抽象，再抽象出1、2。目前看来从有量的抽象到没有量的抽象太难,因此中间应当有一种中介。中介是什么呢？中国
7、是用算盘。一种算盘珠既可以替代一种苹果，也可以替代一种梨，已经通过一步抽象了。通过这样一种中介,小朋友比较容易达到这个过程。教孩子不能脱离这个。此外,教几何也是这样，一定要有空间度量活动。这样它才干理解什么叫点，什么叫线。但是我们目前，用老式手段教数学就缺少操作,缺少操作活动!离开人的活动是没有数学、也学不懂数学的。因此,学习数学很重要的一种环节是理解数学背景、获得数学经验。并且数学经验与物理经验又连在一块的。由于我们摸的东西也有多种物理经验，如形态、软硬、温度等,但我目前要把物理经验抽象掉，只剩余空间关系、数量关系了。因此要通过好几步思维的变化。有了这些基本的概念后来,数学要进一步讲到它们之
8、间的关系。事实上,数学也好、几何也好，重要的不在数,而在于它们之间的关系，一种是数量关系，一种是空间关系。关系是怎么把握的呢?这就必须有纯数学经验了。而关系是在变化中把握的。但我们目前教的数学就没有变化的过程,并且没有数学操作的过程。因此,最佳的措施是发明一种东西,可以提供一种纯数学经验，并且最佳能把数量关系和空间关系联系起来。沈阳东北育才学校是较早开展几何画板实验的学校之一，并且也是最早让学生自己使用软件的学校。几何画板在教师的眼中是什么样？用几何画板如何发挥学生的主体性？如下摘自东北育才邱法文教师的论文。通过近一段时期对几何画板的使用,我们针对基于现代化技术的电脑软件和发明教育理论的结合进
9、行了某些颇为令人兴奋的尝试，感想颇多。以往的软件一般偏重于其外观(界面)设计，而用其所要体现的教学内涵(教学内容的实质）也只是设计者单凭自己的理解通过华丽的表象来体现。一方面设计者理解的不一定全面，有也许产生误导;另一方面华丽的外观会分散学生的注意力，以至于本末倒置。片面追求外观效果的华丽而忽视教学的内涵不能不说是目前中学计算机辅助教学软件设计（AI）的一种误区。然而用几何画板,有人称其为“21世纪的动态几何”，却可以避免这两方面的缺陷,并有其自身的长处。如果说一般的软件是为程序员/计算机教师设计的，那么几何画板则正符合中学生的特点。它自身不需要任何程序语言，它以数学为其主线,以其“动态几何”
10、的特色来动态体现设计者的思想。而使用者不必把大量的时间和精力花在繁多的程序代码上,它所需要的也仅仅是一定的数学知识,特别是几何构建思想，在这里核心是你的“想法”（而这也是教学内容最核心的部分)。鉴于目前应试教育的普遍存在,师生一般都不敢越雷池半步。这种现状是在一定限度上限制了学生的思维特别是发明力的发展。而开设的选修课就没有那么多的限制，相对的灵活性倒使它成为教师充足运用现代化教学手段培养和开发学生发明力的一块沃土。为充足发挥学生的主观能动性,本着培养开发学生发明力的目的,我们重要以开设选修课的形式,采用“解决问题式”教学法，在学生中开设几何画板活动小组。即在教师教会学生简朴的功能的前提下，由
11、教师提出问题，由学生自己去摸索解决问题的措施。至今，我校师生已经提出了某些如圆锥曲线的多种画法、光学成像、纵波、简谐振动、运动合成等等具体问题,并给出了几何画板上的解决措施。非常值得一提的是，我校的一名学生冯伟还在几何画板的协助下，发现并且证明了“蝴蝶定理”的推广形式。而其发现和证明的过程则比电脑教育报上曾刊登过的“美两中学生发现等分线段新措施”有过之而无不及。这不能不说是一种非常故意义而又令人兴奋的尝试。这自身便是一种发明，是一种观念的转变。通过一段时间的摸索，我们觉得几何画板不仅可以较好地协助学生理解她们所学的数学物理知识,并且可以灵活的变通,协助学生理解各部分知识之间的联系。同步对于以抽
12、象见称的数学亦可以以“实验”的形式进行。这不仅符合学生的认知过程,并且有助于培养学生的独创精神。同样也可以运用某些实际问题的数学本质，把某些具体物理过程转化成“抱负实验”在几何画板中进行。事实上几何画板提供的就是这样一种东西。它是可以操作的。例如说,过去讲数学,要讲直角三角形的概念，就要画几种典型的直角三角形,但你不能穷尽它吧!因此孩子所看到的就是这几种直角三角形，再换一种角度看还是不是呢?孩子又要重新鉴别了。几何画板就可以让孩子操作图形,这样就可以把图形多种不同的状态都体现出来了。而在过去是一下子就把本质的东西给学生了。但这本质是从哪儿来的？本质是从现象里抽象出来的。在老式教学中,你不也许在
13、黑板上把诸多具体都提供应她。仅仅用抽象的语言来表述数学关系的本质和规律很容易产生误解,由于她接触的是个别,而“直角三角形” 这个概念已经是抽象的了,只剩余最本质的东西了。这个本质是你给她的，不是她把握的，不是她发现的，不是她抽象的,而在操作几何图形的过程中，可以看到不同样子的直角三角形，还可以看到它与锐角三角形、钝角三角形的比较。在这种动态的操作过程中，就给孩子比较和抽象发明了一种活动的空间和条件。这样它就能在活动中进行反身抽象，获得、理解和掌握这些抽象的概念,而不是你把抽象的结论告诉她。只有这样，孩子获得的才是真正的数学经验，而不是数学结论。此外尚有数量关系。几何画板另一种非常好的地方是把数
14、和形给结合起来了。它在画完图后，立即就可以测算出数值,并能把在图形变化过程中数量关系的变化直观地显示出来。这个过去做不到,最多可以把相对的几种变化值告诉学生。但随着一种微小变化,数量都发生了什么样的变化就不是老式教学所能做到的了。而几何画板就可以随时都看到多种状况下的数量关系及其变化,因此它能把数和形的潜在关系及其变化动态地显现出来。理解数学的本质、理解数学教育的本质、理解数学经验的本质、孩子怎么发展数学思维的能力,这些问题如果在一种新的高度结识后来，我们会打破诸多本来的教学定式,发明出诸多新的教学模式。目前最流行多种多媒体软件。这些软件最大的特点是形象和动态这两个东西。而语言恰恰就是抽象的。
15、一抽象了就不好懂,它提供的不是经验背景,提供的是语言、概念，是逻辑。因此讲了半天，我们大人由于有了经验的支撑，有这个背景，也许觉得讲得挺清晰的,怎么讲了半天学生还是不懂?如果学生没有这种背景她就是不懂。核心在于你怎么给学生发明这些背景。以往我们所倡导的直观教学就是想找到一种经验背景来协助学生理解,但是有些是找不到的。而通过动态的几何,就可以提供许多现实中无法提供的经验背景。因此摸索这种教学很重要的是摸索如何提供经验背景，什么时候给,怎么给,要摸索出一套新的东西。事实上,是要发明出一种学生活动模式,而不是教学模式。教师的目的是要让学生理解一种概念、一种规律。这在此前是用教师讲来让学生明白的,目前能不能转换成学生自己的操作活动。你先把目的告诉她，然后提出几种问题，给她一套操作程序,再笨的孩子也能理解了。因此几何画板对于差生来说是个救命的东西。
