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1、第三章 随机过程3.1 引言通信系统中用于表示(载荷)信息的信号不可能是单一确实定的,而是各种不同的信号. 信息就包含于出现这种或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具体出现哪个 信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测,那么无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随 机信号。通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声的波形更是各式各样,随机的不可予测 的.我们称其为随机干扰和随机噪声。尽管随机信号和随机干扰噪声取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机信号和随机干扰统计规律性的数学工具 是随机过程理论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。随机过程是与时
2、间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取 值称作其实现样函数是时间函数，所有实现样函数构成的集合称作随机过程的样函数空间 ，所有样函数及其统计特性即构成了随机过程，我们以大写字母 X(t), Y(t 等表示随机过程，以对应的小写字母 x(t), y(t) 等表示随机过程的实现样函数。3.2随机过程的统计概率特性随机过程的统计性质可由其分布函数和概率密度描述。3.2.1.随机过程的分布函数和概率密度F1 x1 , t1 = P X t1 x1称作随机过程X t 的一维分布函数。 其中：P 表示概率 F1 x1 , t13. 2. 1如果存在： x1= p1 x1 , t1 那
3、么称其为 X t 的一维概率密度。3. 2. 2 .称：Fn x1 , x2 . .xn , t1 , t2 . .tn = P X t1 x1 ; X t2 x2 ; . X tn xn为 X t 的 n 维分布函数。 如果存在：3. 2. 3 Fn x1 , x2 ,. .xn , t1 , t2 . .tn x1 x2 . . xn= pnx1 , x2. .xn, t1, t2. .tn3. 2. 4那么称其为 X t 的n 维概率密度。如果对于任何时刻 t1 , t2 . .tn 和任意 n = 1 , 2 ,. 都给定了X t的 分布函数或概率 密度，那么认为 X t的统计描述是充
4、分的。3.2.2.随机过程的数字特征1数学期望统计平均值：- E X t =x p1x, t d x = m Xt 3. 2. 52方差：D X t = E X t - E X t 2 = 2 2 2 2- x - mX tp1 x, t d x =- xp1 x, t d x - mX t = X t3. 2. 6X t 称为标准差。3自相关函数统计平均，或称集平均：E X t1 X t2 = RX t1 , t2 = x , x , t , td x d x3. 2. 7- - x1 x2 p2 1 2 1 2 124自协方差函数：CX t1 , t2 = E X t1 - mX t1 X
5、 t2 - mX t2 =x - m tx - m tp x , x , t , td x d x =- - 1X 1 2X 2 2 12 1 2 1 2= RX t1 , t2 - mX t1 mX t2 .5归一化协方差函数相关系数 t tX 1 2t , t = CX t1 , t2X 1 X 2假设 X t1 , t2 = 0 或 CX t1 , t2 = 0, 那么称 X t1 和 X t2 不相关。3. 2. 83. 2. 93.2.3.两随机过程的联合分布函数和数字特征令: X (t), Y(t)为两个随机过程;1联合分布函数和概率密度1 1 1X t1 , X t2 . .X
6、tn ; Y t1 ,Y t2 . .Y tmn + m 维随机向量的联合分布函数定义为:1 1 1Fn, m x1 , x2 . .xn , t1 ,t2 . .tn ; y1 , y2 . .ym , t1 , t2 . .tm =1 1 1= PX t1 x1, X t2 x2. .X tn xn , Y t1 y1 , Y t2 y2 . .Y tm ym 假设存在:3. 2. 1 01 1 1 Fn, m x1 , x2 . .xn , t1 , t2 . .tn , y1 , y2 . .ym , t1 , t2 . .tm = x1 x2 . . xn y1 y2 . . ym1
7、 1 1= pn, m x1 , x2 . .xn , t1 , t2. .tn , y1 , y2 . .ym , t1 , t2 . .tm那么称为X t 和Y t 的n+m 维联合概率密度。3. 2. 1 11 1假设对于任意整数n, m, 以及 t1 , t2 . .tn , t1 . .tm有：1 1Fn, m x1, x2 . .xn , t1 , t2 . .tn ; y1 , y2 . .ym , t1 . .tm =1 1= Fn x1 , x2 . .xn , t1 , t2 . .tn Fm y1 , y2 . .ym , t1 . .tm那么称 X t 和 Y t 相互
8、独立。3. 2. 1 2式3.12可简写为：Fn. m = Fn FmX t 和 Y t 相互独立的条件除式 3. 12 外，还可用概率密度表示，可简写为：pn. m = pn pm式 3. 12 和式 3. 13 都是 X t 和 Y t 相互独立的充分和必要条件。2两个随机过程的数字特征 互相关函数:3. 2. 1 3 RX Y t1 , t2 = E X t1 Y t2 =- - x y p2 x , t1 , y, t 2 d x d y 3. 2. 1 4互协方差函数：CXY t1 , t2 = E X t1 - mX t1 Y t2 - mY t2 = RX Y t1 , t2 -
9、 mX t1 m Y t2假设对于任意 t1 , t2 , 有：CX Y t1 , t2 = 0, 那么称：X t 和 Y t 不相关。不难证明，相互独立的X t , Y t , 必定不相关；反之，不一定。 对于正态随机过程，不相关和独立是等价的。3. 2. 1 53.3平稳随机过程3.3.1 定义如果对于任意 n , 和t1 , t2 . .t n 以及 有：pn x1 , x2 . .xn , t1 , t2 . .tn = pn x1 , x2 . .xn , t1 + , t2 + . .tn + 那么称 X t 为严平稳随机过程，或称狭义平稳随机过程。3. 3. 13.3.2严平稳随
10、机过程的数字特征：1 E X t = mX 数学期望和方差与时间无关 .x2 D X t = 2 3 RX t1 , t2 =- - x1 , x2 , p2 x1 , x2 , d x1 d x2 = RX 其中： t2 - t1 = 相关函数与协方差函数X 1 2 X X X 2 14 C t , t = R - m2 = C 只与 t - t = 有关.3.3.3.宽平稳随机过程广义平稳假设 X t 的数学期望 E X t = ax 为 常数，且自相关函数Rx t1 , t2 = Rx 只与 t2 - t1 = 有关，那么称 X t 为宽平稳随机过程， 或称广义平稳随机过程。不难看出，严平稳过程一定是宽平稳过程，反之，不一定。但对于正态随机过程两者是等价的。后面，假设不加特别说明，平稳过程均指宽平稳过程。3.3.4.联合宽平稳随机过程假设 X t , Y t 是宽平稳过程，且RX Y t1 , t2 = E X t Y t + = RX Y 其中：t2 - t1 = 3. 3. 2那么称 X t 和 Y t 为联合宽平稳随机过程。3.3.5.平稳随机过程相关函数的性质：令： X t 是实平稳过程， RX 是其自相关函数2 21 RX 0 = E Xt , 假设 X t 是电流或电压，那么 Xt 是它在 1 电阻 上的瞬时功率 t 时刻 ， 而 R 0 是
