空间曲线地切线与空间曲面地切平面

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1、第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C由参数方程的形式给出:x X(t)y y(t) ， t (,).z z(t)设 t0,t1(),A(x(to), y(to),z(to)、B(x(ti), y(ti), z(ti)为曲线上两点,A, B的连线AB称为曲线C的割线，当B A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点A的切线.如果 x x(t), yy(t), z z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线 C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的因为割线的方程为XX(to)x(ti)x(to)也可以写为xx(to)x(ti )x(to )t

2、 toy y(to)z z(to)y(ti)y(to)z(ti)z(to)yy(to)zz(to)y(ti)y(to)z(ti)z(to)ttotto当B A时，tto ,害熾的方向向量的极限为x (to), y (to), z (to),此即为切线的方向向量，所以切线方程为X x(to) y y(to) zz(to)x (to) y (to)z(to)过点A(x(to), y(to), z(to)且与切线垂直的平面称为空间的曲线 C在点A(x(to), y(to), z(to)的法平面，法平面方程为x(to)(x Xo) y(to)(y y。)z(t)(z z)0y y(x),z z(x)且

3、y(xo),z(xo)存在，则曲线在点 A(xo, y(xo), z(xo)的切线是X X。y y(Xo)1y(X。)Z Z(X)z (Xo)法平面方程为(X Xo)y(Xo)(y y(Xo)z(Xo)(z z(Xo) 0如果空间的曲线 C表示为空间两曲面的交，由方程组F (x, y, z) 0, c:G(x, y,z) 0确定时，假设在A(xo, yo,zo)有J(F,G)(y,z) a0，在A(xo,yo,zo)某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组F (x, y, z)0,在点A(X0, y, z)附近能确定隐函数G(x, y, z) 0y y(x),z z(x)有y0y(x0),

4、z0 z(X0)，dx1(F,G) dzJ (x,z) , dx1晋。于是空间的曲线C在点A(x, y, z)的切线是X X。yy。zz1dydzdxAdxAX Xyy。z Z(F,G)(F,G)(F,G)(y,z)A(z, X)a(x, y)A(F,G)(y,z)(x Xo)A(F,G)(z,x)(yAy。)(F,G)(x, y)(z Zo)0A0时，我们得到的切线方类似地，如果在点 A(x0, y0, z0)有(F,G)(x, y)程和法平面方程有相同形式。所以，当向量(F,G)(F,G)(F,G)(y,z)/ (z,x)/ (x, y)A 0r 时，空间的曲线 C在A(Xo,yo,Zo)

5、的切线的方向向量为r例6.32求曲线xa cos , y asin ,z b在点 a,0,b处的切线方程.解 当时，曲线过点a,0,b，曲线在此点的切线方向向量为a si n ,acos ,b |0, a,b ,所以曲线的切线方程为x x(t。)y y(t。) z z(t。)0abx a y z b即0 a b .、空间曲面的切平面与法线设曲面S的一般方程为F(x,y,z) 0取P0(X0,y,Z0)为曲面S上一点，设F(x,y,z)在P0(X0,y0,z)的某邻域内具有连续2 2 2偏导数，且 Fx(X0,y,z0)Fy(x0,y,Z0)Fz(x,y0,z0) 0。设 c 为曲面 S 上过P

6、(X0, y,Z0)的任意一条光滑曲线：x X(t)c： y y(t)z z(t)设 Xox(to), yo y(to), Zo z(to)，我们有F(x(t),y(t),z(t) 0上式对t在t to求导得到IIIFx (Xo, yo,Zo)x (to) Fy (Xo,yo,Zo)y (to) Fz (x。，y,z)z (t。) 0因此，曲面S上过Po(xo,yo,zo)的任意一条光滑曲线 c在Po(xo,yo,zo)点的切线都和 向量n Fx (xo，y,Zo),Fy (x, y,z),Fz (x。, y,z。)垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面 就称为曲面S在Po(Xo,y,Z

7、o)的切平面，向量n称为法向量。S在Po(xo,yo,zo)的切平面方程是Fx (Xo, yo,zo)(x Xo) Fy (Xo,yo,zo)(y y) Fz (x, y, zo)(z zo) o过点Po(Xo,yo,Zo)且与切平面垂直的直线称为曲面 S在Po(Xo,yo,Zo)点法线，它的方程为(X Xo)(y yo)(Z Zo)Fx(Xo,yo,Zo)Fy (Xo, yo,Zo)Fz(Xo,y,z)设曲面S的方程为F(x,y,z) o若 F (x, y, z) 在S 有 连 续 偏 导 数 且o,则称S是光滑曲面。由上面讨论可2 2 2Fx (Xo,yo,Zo) Fy (Xo, yo,Z

8、o) Fz(Xo,yo,z)以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面S的方程的表示形式为z f (x, y)，这时，容易得到 S在Po(Xo, yo,Zo)的切fx(Xo,yo)(x x)fy(Xo,yo)(y y) (z z) 0法线方程为(x X。) (y y。)(z z。)fx(Xo,yo)fy(Xo,y。)1我们知道，函数z f (x, y)在点(Xo,yo)可微，则由Taylor公式知f (X,y) f(Xo,yo)fx(Xo,yo)(xXo)fy(Xo,y)(yy)O(._(xx)2(yy)2)也就是说，函数 z f (x,y)在点(Xo,y)附近可以用S在Po(x,yo,Zo)的切平

9、面近似代替，误差为,(x Xo)2 (y yo)2的高阶无穷小。若曲面S的方程表示为参数形式x x(u,v)S： y y(u,v)z z(u, v)z(Uo,Vo)， Po(Xo,yo,Zo)为曲面上一点。假设设 Xox(Uo,Vo),yoy(Uo,Vo),ZoFO(Xo,yo,Zo)有 j(X, y) (U,V) Poo,在Po(Xo,yo,Zo)某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组X x(u，v)，在点PO(Xo,yo,Zo)附近能确定隐函数(即 X和y的逆映射) y y(u,v)u u(x, y),v v(x, y)满足Uo u(Xo,yo),vo v(Xo, yo) 于是，曲面

10、S可以表示为Z f (X, y) z(u(x, y),v(x,y)x x(u,v)，由方程组两边分别同时对x,y求偏导得到y y(u,v)ZuUxZvVxZuUyZvVyyyuvvux(x,y),x(x, y)(u,v)(u,v)xxuvvuy(x, y)y(x,y)(u,v)(u,v)(y，z) (u,v)/ (x, y) (u,v) (z,x) (u,v)/ (x,y)(u,v)所以，S在Po(X0,yo,Z0)的切平面方程为(y,z)(u,v)(X(uo,vo)Xo)(Z,x)(u,v)(Uo,vo)法线方程为x Xo(y,z)(u，v) (uo,vo)(yyo)3(z(u，v) (uo

11、,vo)Zo)y yo(z,x)(u，v) (uo,vo)z Zo(x,y)(UV) (uo,vo)x一例6.33求曲面z y In 在点(1,1,1)的切平面和法线方程。 z解曲面方程为F (x, y, z)xy In z o,易得 n 1,1, 2z切面方程为(x 1) (y 1)2(z 1)0即 x y 2z 0.习题6.61 .求曲线 x a cos a cost, y a si nacost,z a si nt在点t t0处的切线和法平面方程.2 .求曲线6在点(1, 2,1)处的切线和法平面方程.3 求曲面zarctan在点(1,1, /4)的切平面和法线方程。x34。证明曲面xy

12、z a (a 0)上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。5 .证明曲面z xf ()上任意一点的切平面过一定点。x第七节极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义 6.3 n 元函数 f(Xi,X2, ,Xn)在点 Po(Xi0,x0, ,x0)的一个邻域 U(Po) Rn 内 有定义。若对任何点 P(Xi ,X2, ,Xn) U (Po)，有f(Po)f(P) 或( f(Po)f(P)则称n元函数f (Xi,X2, , Xn)在Po(X0,x0, ,x0)取得极大(或极小)值，Po(Xi0,X0, , X0)称为函数f ( Xi, X2,

13、 , Xn)的极大(或极小)值点。极大值和极小值统称 为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得n元函数f (Xi, X2, ,Xn)的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们有如下定理。定理6.28 若Po(Xi,X, , X：)为n元函数f (Xi,X2, , Xn)的极值点，且 f (Xi, X2, Xn)在 P(Xi,x2), ,x)的一阶偏导数存在，则 P(X,X, ,x)为 n 元函数f (Xi, X2, Xn)的驻点。证 考虑一元函数(Xi) f(Xi, Xi, ,x0 )(i 1,2 n)，则Xi是(xj的极值点,Fermat马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是(X)fXi (Xi0, ,Xi， ,X) 0和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。 而偏导数不存在的点也有可能是极值点。判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。定理6.29若Po(Xo, yo)为二元函数f (x, y)的驻点，且 f (x, y)在 P(X0, y)的一个2邻域U (P。)R中有二阶连续偏导数。令fyy(Xo, yo),Afxx(Xo, yo), Bfxy(Xo,yo),CA B2Q B C AC B，(1) 当 Q o 时，