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1、 【例1】 具有理想继电型非线性元件的非线性控制系统如图8-4(a)所示，试确定系统自振荡的幅值和频率。图8-4(a) 非线性控制系统结构图解：（1）在复平面上分别绘制曲线和曲线。绘制曲线：由理想继电型非线性特性可知由图8-4(a)的系统结构图知，则得负倒数描述函数：当从变化时，曲线起始于坐标原点，并随着幅值的增大沿着复平面的复实轴向左移动，终止于，如图8-4(b)所示。绘制曲线： 由于与实轴相交： ，解得： ，代入求得：图8-4(b) 与 则曲线示于图8-4(b)。 （2）确定系统自振荡的幅值和频率：由图8-4(b)可见：点为曲线与负实轴的交点，亦是和的交点。因穿出，故交点为自持振荡点。自振
2、频率,自振振幅由下列方程解出：，即 【例2】非线性系统的及的轨迹如8-2所示，试判断该系统是否稳定。 图8-2 非线性系统框图 图8-3 非线性系统框图解：因为由图可知，曲线包围了曲线，所以不论幅值如何变化，该非线性系统都是不稳定的。【例3】非线性系统的及的轨迹如图8-3所示，试判断该系统有几个点存在自振荡。解：因为由图可知，在复平面上曲线与相交，系统可能发生自持振荡。图中曲线沿箭头方向由稳定区经交点P进入不稳定区，所以P点不存在自持振荡；而曲线沿箭头方向从不稳定区经交点Q进入到稳定区，所以交点Q处存在自持振荡。【例4】 如图7-24所示非线性系统，其中死区继电特性的参数，。试问该系统是否存在
3、自振，若存在自振，求出自振的振幅和频率。解 死区继电特性的描述函数式（7-13），即 将表示成相对描述函数 令 相对负倒描述函数式（7-18），即 在复平面上分别作出及曲线。给定和一系列数值，可算出及值如下：1201501802002503004002.351.61.130.90.60.40.25.73.92.752.231.400.940.49根据上述数据，分别绘制曲线和曲线，如图7-25所示。图中曲线在时取最大值（这一点可由对求导来计算）。而在和时的曲线与负实轴完全重叠，只是重叠点所对应的振幅不同。为了清楚起见，图7-25中画成两条直线，对应于由（即0.707）及由，曲线上箭头表示增加方向
4、，亦即减小的方向。由图可见，与曲线有两个交点，从曲线看，交点频率为；从曲线看，交点对应为0.92及0.38，相应的则分别为0.757及1.84。这说明系统存在着两个频率相同，但振幅不同的周期运动。根据判别周期运动稳定性的方法即可判定：振幅伪0.75的周期运动是不稳定的，振幅稍有衰减，则逐渐收敛到死区内，最终系统保持静止状态；或振幅稍有增加，则逐渐发散到大振幅（1.84）的周期运动状态，而大振幅的周期运动是稳定的，即为系统的自振点。因此，该系统存在自振，自振频率，自振振幅。为了消除自振，可以改变使它与曲线不相交，最简单的办法是减小线性部分的开环增益。若系统稳态误差要求不允许减小开环增益时，可采取
5、其他措施，如在系统中串联适当的相角超前环节来实现。【例5】系统结构如图7-26所示，已知、，试判别系统是否存在自振，若有自振，求出自振振幅及频率。 解 具有滞环继电特性的描述函数式（7-14）即 相对描述函数为 令，则相对负倒描述函数为 可见其虚部为常数。再以为自变量从开始，算出的一系列数值。同时也对线性部分计算出实部和虚部，计算值如下表所示：根据上列数据作出与曲线，如图7-27所示。由图可见，两条曲线有一个交点，根据稳定性分析可知，该点为自振点，自振频率为，振幅为。【例6】 具有间隙非线性特性的系统如图7-28所示。已知。试分析系统是否存在自振，若有自振，求出自振参数。解 根据间隙非线性特性的描述函数式（7-15），可求得的计算值如下表所示。X0.6250.831.252.552.381.541.18系统线性部分的频率特性 则的实部和虚部计算如下表所示。12345610-10.7-3.18-1.75-1.24-0.96-0.59-0.45-7-3.36-2.13-1.5-1.1-0.86-0.35由图可见，两条曲线有一个交点。由稳定性分析可知，该点为自振点，自振参数，。
