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1、题目在平面直角坐标系 xOy中，点 P(m, n)在圆 O : x2y2r 2 (r0)外, 自P作圆 O的两条切线PA, PB,切点分别为A, B,求直线 的方程 .AB一、 阐述题意本题已知条件为 圆O : x2y2r 2 (r 0) 的方程，点 P 在圆外， PA，PB与圆相切，为切点，难点是如何绕开 AB点坐标的求解二、题目背景本题是直线与圆的内容， 直线与圆在高中数学中为 C级要求，已经学过了直线方程的求解，圆与直线的关系，两圆位置关系，以及向量的数量积三、题目解答解法一：当 mr时设直线 AB方程为 : y nk( xm)即 kx y km n 0由直线与圆相切，得kmnk2r1解
2、得 k(n km)21r再代入直线方程 y(n km) 21m) nr( x与圆联立方程组，解出A, B坐标最后由两点式得直线AB的方程当 m=r 时 A(r ,0), B与 A关于直线 OP对称可求得 B坐标，同理可用两点式求得直线 AB方程该方法计算量较大容易计算错误。解法二：分析：由于PA，那么就在以 为圆心，PBA, BP为半径的圆上, 从而直线AB为两圆的公共弦PAP2 =OP2Q PArPA2 =m2 +n2r 2圆 方程为（xm)2( yn)22+n2r2Pm即x2y22mx2nyr 20将两圆方程相减得直线方程为：mxnyr2AB解法三：分析：同解法二类似的，PAOA, PBO
3、B ,故 PAOB四点共圆且以 OP为直径，从而，直线AB为两圆的公共弦以 OP为直径的圆方程为( x0)( xm)( y0)( yn)0即 x2y 2mxny0将两圆方程相减得mxnyr 2即为直线 AB的方程解法四：分析：求直线的方程，即求 ，点同时满足的线性关系ABuuurABuuur(x m, y n)设A( x, y),则OA(x, y), PA由于 OAPA,uuur uuur0OA PAx(xm)y( yn)0即x2y2mxny0又 在圆O上，故x2y2r2Amxnyr 2即点 满足上式，同理点也满足上式AB直线方程为mxnyr2AB四、总结提炼、该题为课本例题 “若点P(m,
4、n)在圆O : x2y2r2上，则以 为切点的圆的1PO切线方程为 mxnyr 2 ”的一道延伸题，同时在本题中又加入了两圆相交问题中公共弦的求解，在解题过程中，要避开繁杂的运算，而加强对圆的几何性质的理解。同时，在解圆的问题时，一定要强化对圆心和半径的运用，与圆有关联的问题，要和圆心挂钩。、：y2 D1xE1y和：x2y2 D 2 xE 2 y F 2 0相交时，2 e O1 x2F1 0e O2公共弦方程为( D1D 2) x ( E1E 2) y( F1F 2)0.五、题目变式变式1：已知圆 O : x2y 21,点P在直线 l : 3x4 y250上运动，过 P引圆的两条切线 PA,
5、PB，则 PA的最小值为？四边形 PAOB面积的最 小值为？变式 2：已知点 P在直线 l :3 x 4 y25 0上运动，点 Q在圆 O : x2y21上运动 ,则 PQ的最 小值为？变式 3、过点 P( 2， 3)作圆 C：(x4)2( y2)29的两条切线，切点分别为A、 B.求：1 经过圆心 C，切点 A、 B这三点的圆的方程；2 直线 AB的方程；3 线段 AB的长 .变式 、从圆：外一点向圆引切线，T为切点，4C x2 y2 4x6 y 12 0P(a, b)PT且为原点 求PT的最小值及此刻的坐标.PT PO (O)P六、教学设计在讲解时，应先复习直线与圆的位置关系，求直线的两个要素：点和斜率，或两个点，圆的切线的求解方法， 圆与圆相交时公共弦的求解， 然后可以问学生，要求直线 AB ，是否要求 AB的坐标？从而引出方法一。在大运算量的基础上，学生也会去寻求简单的方法，找到直线 AB的几何意义，即为圆的弦，即求两圆的相交弦。
