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1、 0专题八：立体几何例 题在如图所示的四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PACD，BC平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点，3（1）证明：PB平面FMN；（2）若PAAB，求二面角EACB的余弦值【解析】（1）证明：连接BD，分别交AC，MN于点O，G，连接EO，FGO为BD中点，E为PD中点，EOPB又3，F为ED中点又CMMD，ANDN，G为OD的中点，FGEO，PBFGFG平面FMN，PB平面FMN，PB平面FMN（2）解：BC平面PAB，BCPA，又PACD，BCCDC，PA平面ABCD如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空
2、间直角坐标系设PAAB2，可知A(0，0，0)，C(2，2，0)，B(2，0，0)，E(0，1，1)，则(2，2，0)，(0，1，1)PA平面ABCD，平面ABC的一个法向量n0(0，0，1)设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z1，n(1，1，1)cosn0，n由图可知，二面角EACB为钝角，二面角EACB的余弦值为【答案】（1）见解析；（2） 基础回归立体几何是高考中必考的题型之一，并且分值占卷面的12%左右，多数是22分，常考两个客观题和一个主观题，对学生的空间想象能力和运算推理能力要求较高，考点主要集中在空间几何体的三视图，空间几何体的表面积与体积，证明直线、平
3、面的平行与垂直关系，求角立体几何主要位于必修2中立体几何初步和选修2-1中空间向量 规范训练综合题（48分/60min）1（12分/15min）如图，在四棱锥PABCD中，ABD是边长为2的正三角形，PC底面ABCD，ABBP，BC（1）求证：PABD；（2）若PCBC，求二面角ABPD的正弦值【解析】（1）证明：连接AC交BD于OPC底面ABCD，PCABABBP，BPCPP，AB平面PBC，则ABBCBC，tan BAC，即BAC30ABD60，AOB90，即ACBDPCBD，BD平面ACP，PABD（2）解：由(1)知O是BD的中点，过O作OFPC交AP于F，以O为坐标原点，建立如图所示
4、的空间直角坐标系，:则A(，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，C，P，则(0，2，0)，设平面PBD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则x2，n(2，0，1)取PB的中点E，连接CEPCBC，CEPB，则CE平面ABP，向量是平面ABP的一个法向量，cosn，二面角ABPD的正弦值为【答案】（1）见解析，（2）满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ 是 否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ 是 否3.语言：答题学科用语是否精准规范？是 否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？是 否5.得分点：答题得分点是否全面无误？是 否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ 是
5、否2（12分/15min）如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC60的菱形，M是棱PC上的动点，且(0，1)（1）求证：BCPC；（2）试确定的值，使得二面角PADM的平面角的余弦值为【解析】（1）证明：取AD中点O，连接OP，OC，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC60的菱形，ADC是等边三角形，PO，AD，CO两两垂直，以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得P(0，0，)，C(，0，0)，B(，2，0)，(0，2，0)，(，0，)，0，BCPC（
6、2）解：由可得点M的坐标为(，0，)，(，1，)，(，1，)，设平面AMD的法向量n(x，y，z)，则令z，得n(1，0，)由题意得，平面PAD的法向量m(1，0，0)二面角PADM的平面角的余弦值为，|cosm，n|，由0，1，解得【答案】（1）见解析；（2）满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ 是 否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ 是 否3.语言：答题学科用语是否精准规范？是 否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？是 否5.得分点：答题得分点是否全面无误？是 否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ 是 否3（12分/15min）如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB
7、1，BCD120，四边形BFED为矩形，平面BFED平面ABCD，BF1（1）求证：AD平面BFED；（2）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为，试求的最小值【解析】（1）证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，AB2，BD2AB2AD22ABADcos 603AB2AD2BD2，ADBD平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，DEAD，又DEBDD，AD平面BFED（2）解：由（1）可建立分别以直线DA，DB，DE为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示令EP(0)，则D(0，0
8、，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，P(0，1)，(1，0)，(0，1)设n1(x，y，z)为平面PAB的法向量，由得取y1，则n1(，1，)n2(0，1，0)是平面ADE的一个法向量，cos 0，当时，cos 有最大值，的最小值为【答案】（1）见解析；（2）满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ 是 否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ 是 否3.语言：答题学科用语是否精准规范？是 否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？是 否5.得分点：答题得分点是否全面无误？是 否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ 是 否4（12分/15min）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD
9、，ABBC，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图（1）证明：CD平面A1OC；（2）若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值【解析】（1）证明：在题图中，因为ABBC，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC即在题图中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC又CDBE，所以CD平面A1OC（2）解：由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC如图，以O为原点，建立空间直角坐标系因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B(1，0，0)
10、，E(1，0，0)，A1(0，0，1)，C(0，1，0)，D(2，1，0)，得(1，1，0)，(0，1，1)，(2，0，0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，则得取n1(1，1，1)得取n2(0，1，1)从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为【答案】（1）见解析，（2）满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ 是 否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ 是 否3.语言：答题学科用语是否精准规范？是 否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？是 否5.得分点：答题得分点是否全面无误？是 否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ 是 否欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
