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1、第一节曲强与方程曲线与方程是解析几何的基本概念，在近年的高考试题中，重点考查曲线与方程的关系，考查曲线方程 的探求方法，多以综合解答题的第小问的形式出现，就这部分考题来说 ，属于中档题，难度值一般在0.450.65之间.考试要求了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程.题型一曲线与方程例1设集合(x, y)|F(x, y) 0,x, y R非空.如果命题 坐标满足方程F(x,y) 0的点都在曲线C上 不正确，给出以下四个命题： 曲线C上的点的坐标都满足方程 F(x,y) 0 ;坐标满足方程 F(x,y) 0 的点有些在C上，有些不在C
2、上；坐标满足方程 F(x,y) 0的点都不在曲线 C上；一定有不在曲线 C 上的点，并且其坐标满足方程 F(x,y) 0.那么正确命题的个数是( ).A.1B.2C.3D.4点拨：直接用定义进行判断.解：坐标满足方程F(x, y) 0的点都在曲线C上”不正确，意味着 坐标满足方程F(x,y) 0的点不都 在曲线C上”是正确的，即一定有不在曲线 C上的点，并且其坐标满足方程 F (x, y) 0,.正确；曲线 C 上的点的坐标可以有不满足方程 F(x,y) 0的，错；若满足方程F(x,y) 0的(x, y)只有一解，则错； 都”的否定是 不都”而不是 都不” .错.故选A.易错点：定义把握不准确
3、，关键字句认识不到位，概念理解不深刻，均有可能错选其它选项.变式与引申2.已知定点P(xQ,y)不在直线2 f(x,y)0上，则方程f(x,y) f(x0,y。)0表示一条().A.过点P且平彳T于l的直线B过点P且垂直于l的直线C不过点P但平行于l的直线D.不过点P但垂直于l的直线题型二代入法(相关点法)求曲线方程uuu uuu uiin uuu例2已知点F (1,0)，点A、B分别在x轴、y轴上，且AP 2AB,AB FB ,当点B在y轴上运动时，求点 P的轨迹方程.uuu点拨：由AB 轨迹方程.uuuuuuFB确定A与B的坐标关系，由APunr2AB建立动点P与A、B的坐标关系，用代入法
4、求uuuFB,得2b，即uuiruuinuuuuuu解：设 P(x,y), A(a,0) , B(0,b),又 F(1,0)，则 AP (x a,y), AB ( a,b) ,FB (1,b).由 AB urn uuuuuuumAB FB ( a,b) ( 1,b) a b2 0 .由 AP 2AB ,得(x a, y) 2( a,b) ,. x a 2a , y yy 2_2a x,b 士，代入得,x (-)0,即y 4x,当x 0时，三点A、B、P重合,不满足条件22uuu uuuAB FB,. x 0,故点P的轨迹方程为y2 4x(x 0).易错点：忽视轨迹方程中的x 0.变式与引申uu
5、uu 2 uur3 .已知O为坐标原点，点M、P分别在x轴、y轴上运动，且|MP| 7,动点N满足MN & NP ,求动点N的 轨迹方程.题型三待定系数法、直接法求曲线方程例3已知椭圆C的中心为直角坐标系 xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分 别是7和1.求椭圆C的方程；若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，UP! e(e为椭圆C的离心率，求|OM |点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.点拨：问题用待定系数法求椭圆 C的方程；问题将点 P、M的坐标代入满足的关系式中 化简后可得到点M的轨迹方程，然后说明其轨迹是什么曲线，并指明变量x的取值范围.22解：设
6、椭圆C的标准方程为x2 4 1(a b a ba c 10),半焦距为c,则a c 7,解得a 4，c 3,222.一 一 、一 x y b27 .故椭圆C的标准方程为一人1.16722设 M(x,y), P(x, y1)，其中 x 4,4 .由已知得 二一y2 e2,而 e x y2点P在椭圆C上，得y12112 7x ，代入上式并化简得9y2163 , 16(x2y2) 9(x2 y2).由4112，故点M的轨迹方程为47y 一(34 x 4)轨迹是两条平行于x轴的线段.易错点： 第小问中未注意到点 M与P的坐标关系，会造成求点M轨迹方程的思路受阻；忽视变量 x的范围，将出现对所求轨迹曲线
7、的错误判断.变式与引申x2 y234 .已知椭圆C： -y 1(a b 0)的离心率为 一，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 a b3y x 2相切.求椭圆C的方程；设该椭圆的左、右焦点分别为 匕、F2,直线11过F2且与x轴垂直，动直线12与y轴垂直2交11与点P, 求线段PF1垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型.题型四定义法求曲线方程与实际应用问题例4为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8 km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图所示）.考察范围到 A、B两点的距离
8、之和不超过 10 km的区域.求考察区域边界曲线的方程；如图所示，设线段PP2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界工当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向 朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 km ,以后每年移动的距离为前一年的2倍.问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？点拨：本题是应用题背景下的解析几何综合问题，利用椭圆考察区域边界曲线的方程；综合运用直线方程、点到直线的距离等比数列求和公式等知识能使第小问获解.解：设考察区域边界曲线上点P的坐标为（x,y）.则由|PA| |PB| 10 8知，点P在以A、B为焦点,长轴长为2a 10的椭圆22上,此时短半轴长b旧43,故考察区域边界曲线的
9、方程为1.259一, 一八一一 | 16 47 |31易知过点P、P2的直线方程为4x 3y 47 0, 点A到直线PH的距离d 11 .设经.42 （ 3）25n过n年，点A恰好在冰川边界线上，则由题设及等比数列求和公式，得唯一史，解得n 5 .故经过n年,2 15点A恰好在冰川边界线上.易错点：不能正确建立应用题的数学模型；数学阅读分析能力不强，易出现审题错误变式与引申5 .某航天卫星发射前，科技小组在计算机上模拟用天器变轨返回试验，设计方案如图，航天器运行（按顺时针22方向）的轨迹方程为上 1,变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y轴为对10025B（5,0）同#跟
10、踪航天器称轴、M （0,64）为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8,0）.观测点A（3,0）、 7求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；试问：当航天器在 x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？本节主要考查：知识点有曲线与方程的关系、求曲线（轨迹）的方程；依据动点轨迹的几何条件 ，运用求曲线（轨迹）方程的方法解决求曲线 （轨迹）方程的问题，及应用题背 景下的求曲线（轨迹）方程的问题；求曲线（轨迹）方程时：恰当建立坐标系，使所求方程更简单；利用圆锥曲线的定义，运用平面几何知识，可以大大简化求解运算过程.解析几何基本思想（用代数方法研究几何问题 卜方程
11、思想、等价转化思想、分类讨论思想、应用题建模思想以及分析推理能力、运算能力.点评:求曲线（轨迹）方程的常用方法有:直接法：直接 利用动点满 足的几何条 件（一些几何 量的等量关 系）建立x , y之间的关系 f（x,y） 0（如例3第2问）.其一般步骤是：建系设点、列式、坐标代换、化简、证明（证明或判断所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 ）；待定系数法：已知所求曲线的类型时，可先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系 数，求出曲线的方程（如例3第1问）；定义法：先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义，则可用曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（如例4）;代入法（相关点法）：有些问题
12、中，动点P（x,y）是随着另一动点 Q（xo,yo）（称之为相关点）而运动的, 并且点Q（xo,y）在某已知白曲线上，这时可先用x、y的代数式来表示x、y,再将、y0的表达式代入 已知曲线，即得要求的动点轨迹方程（如例2及变式）.要注意求曲线（轨迹）方程与求轨迹的区别： 求曲线（轨迹）的方程只需根据条件求出曲线 （轨迹）方程即 可；求轨迹则是需先求出轨迹方程 ，再根据方程形式说明或讨论（含参数时）曲线图形的（形状、位置、大小） 类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答 .在求出曲线（轨迹）的方程时，要注意动点的取值范围，及时补漏和去除杂点”以保证所求曲线（轨迹）方程的完整性.习题6-11 .
13、方程x2xy x的曲线是（）.A.一个点B.一条直线C. 一个点和一条直线D.两条直线2 22 .已知双曲线 二 二1（a 0,b 0）的一条渐近线方程是y 而x,它的一个焦点与抛物线y2 16x的焦点相同.则双曲线的方程为. 22.一 x y3 .已知椭圆= 4 1（a b 0）的左、右焦点分别为 a b求椭圆的标准方程；过点的直线l与该椭圆交于 M、N两点，且|4 .（2011高考江西卷 文）已知过抛物线 y px（p和 B（x ,y ）（x x ）两点，且 AB .（1）求该抛物线的方程；uuu（2） O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 OCFi、F2,离心率e ，右准线方程为x 2.
14、2uumu uiur 2 26F2M F2N |上,求直线l的方程.3）的焦点，斜率为6 的直线交抛物线于 A（x,y ）uur uuuOA OB,求的值.变式与引印1.B提示：由1忆0,结合选项却选好提示二由题意打毛,外)，仇又了(为,门)-,3)0 J直线7(xj)-o与直线 FD -(4。平行线/81)-/但义户口上选a.3一解】设A(x vl：HR0):网0)贝IZv = c-At)V? = I-工方-j】住近=.豆：2、71,得(jf -1 y) = -x. b- tL) ./.艾一虎=一二工.1二二(Jj y),即 a = -y： . b = -y .又|U产|,庐万=7,二(:尸-(：1于二9_即三-匚=1_故动点_的轨迹方程为三-二二1一 51254254222由e 史得J -,Xb J 22,:. b2 2,a2 3,故椭圆C的方程为 乙 y- 1.3 a 31132由知F1( 1,0)尸2(1,0),由题意可设P(1,t)(t0)，则线段PF1的中点为N(0,-).24.解：设M (x, y)是所求轨迹上的任意一点uuuu tULLT，由于 MN ( X,1 y) ,PF1( 2, t),则2uuuu LuirMN PF
