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1、学习好资料欢迎下载三角函数的图像与性质学习过程知识点1:正弦函数余弦函数的图象（1）函数y=sinx的图象 第一步：在直角坐标系的 x轴上任取一点 Oi，以Oi为圆心作单位圆，从这个圆与 x轴的交点A起把圆分成n（这里n=12）等份.把x轴上从0到2 n这一段分成n（这里n=12）等份.（预 备：取自变量x值一弧度制下角与实数的对应）第二步：在单位圆中画出对应于角 0二，I ,二,，2n的正弦线正弦线（等价于“列表”）.63 2把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点
2、连结起来，就得到正弦函数y=sinx , x 0 ,2n 的图象.根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为 2n，就得到y=sinx , x R的图象.把角x（xR）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.（2 ）余弦函数y=cosx的图象用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射 法”将角x的余弦线“竖立”把坐标轴向下平 移，过Oj作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线 O1 A的终点A作x轴的垂线，它与4前面所作的直线交于 A,那么OiA与AA长度相等且方向同时为正，我们
3、就把余弦线 OiA“竖立”起来成为 AA,用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点.也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”（把角x的余弦线 OM按逆时针方向旋转=到20M位置，则OM与OM长度相等，方向相同.）根据诱导公式cosx=si n（ x+工），还可以把2正弦函数x=sinx的图象向左平移 二单位即得余弦函数 y=cosx的图象.2（1） 正切函数y=tanx的图像:知识点2 :五点法作图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：正弦函数y=sinx，x 0 , 2 n 的图象中，五个 关键点是:(0,0)
4、 ( ,1)(二,0) ( ,-1) (2 二,0)2 2余弦函数y=cosx x 二0,2二的五个点关键是(二,-1) ( 2 ,0) (2二1)图象的形状就基本确定了.(0,1) (2 ,0)只要这五个点描出后，正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握.知识点3:奇偶性因此在精确度不太高时,常采用五点法作请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么? (1)余弦函数当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：1 门 1f(- 3 )= 2 ,f( 3 )= 2 ，即 f(- 3 )=f( 3 ); 由于 cos( x)=cosx/ f(-x)= f(x).以上情
5、况反映在图象上就是：如果点(x,y)是函数y=cosx的图象上的任一点，那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2 等都是偶函数。(2) 正弦函数观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点(x,y)是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它
6、关于原点对称的点(-x,-y)也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数 y=sinx是奇函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f( x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。1例如：函数y=x, y= x都是奇函数。如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：(1) 其定义域关于原点对称；(2) f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算 f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)
7、，然 后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。知识点4: 单调性二 3 二从 y= sinx, x22 的图象上可看出：JtJI当 x : 2 ,2 时,曲线逐渐上升，sinx的值由一1增大到1.n3兀当 x 2 ,2 时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到一1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间:2 + 2k n ,2 + 2k n : (k Z)上都是增函数，其值从一1增大兀3兀到1;在每一个闭区间】2 + 2k n ,2+ 2k n : (k Z)上都是减函数，其值从1减小到一1.余弦函数在每一个闭区间:(2k 1) n , 2k n : (k Z)上都是增函数，其
8、值从一1增加到1 ;在每一个闭区间2k n , (2k + 1) n : (k Z)上都是减函数，其值从1减小到一1.有关对称轴：观察正、余弦函数的图形，可知k兀+ y=sinx的对称轴为x= 2 k Zy=cosx的对称轴为 x= k k Z学习结论1 正弦函数余弦函数的图象申* y=sinx-5 二-4 二-3 二 -2 二y 4、 /:、2 二-56二-6 二-5 二y=cosx-4兀-2兀、才亠 PZ 2兀7愛5 yj/2 五点法作图 正弦函数y=sinx , x 0 , 2 n 的图象中，五个 关键点 是：(0,0) (-,1)(二,0) (3 ,-1) (27,0)2 2余弦函数y
9、=cosx x0,2二的五个点关键是JI3兀(0,1) (2,0)(二,-1) ( 2 ,0) (2 二,1)3.性质:(1 )周期性：正余弦函数都是周期函数，2k n (k Z)都是它的周期，最小正周期是2n ;正切函数Tv：。(2) 奇偶性：函数 y=sinx是奇函数，函数 y=cosx是偶函数；正切函数是奇函数。TtJi(3) 单调性：正弦函数在每一个闭区间2 + 2k n ,2 + 2k n : (k Z)上都是增函数，兀3兀其值从一1增大到1；在每一个闭区间2 + 2k n ,2 + 2k n : (k Z)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k 1)n , 2
10、k n : (k Z)上都是增函数，其值从一1增加到1; 在每一个闭区间2k n , (2k + 1) n : (k Z)上都是减函数，其值从1减小到一1.正切函数在区间k6 k 1二上函数单调递减。典型例题例1、画出下列函数的简图：(1) y= 1 + sinx ,x 0,2 n(2) y= cosx ,x 0,2 n 解析：(1)按五个关键点列表：x0n2n3n22nSin x01010学习好资料欢迎下载1+ Sin x1210f（ x）= 1+s in （ x）22 2描点、连线，画出简图。描 点、-2x0n2n3n22nCosx10-101-Cosx-1010-1按五个关键点列表:例题2求下列函数的周期:Ji Jiy 二sin( x)32；解析:周期为4 ；2=4T0xy.33 20 :A X学习好资料欢迎下载例3：用图象求函数y二-tanx - ；3的定义域。解析：由 tan X-、.3_0 得 tan x _、.33TIk , kk - Z利用图象知，所求定义域为 IL 32亦可利用单位圆求解。y*
