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1、构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等的五种方法(“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”,“HL”)中,至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”;若找到一组角则需找另一组角(可能用“ASA”或“AAS”)或夹这个角的另一组对应边用“SAS”;若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为:ABCDFEG图(1)搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行
2、等量代换,就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法,供同学们参考 1截长补短法例1如图(1)已知:正方形ABCD中,BAC的平分线交BC于E,求证:AB+BE=AC解法(一)(补短法或补全法)延长AB至F使AF=AC,由已知AEFAEC,F=ACE=45,BF=BE,AB+BE=AB+BF=AF=AC解法(二)(截长法或分割法)在AC上截取AG=AB,由已知 ABEAGE,EG=BE, AGE=ABE,ACE=45, CG=EG,AB+BE=AG+CG=AC 2平行线法(或平移法) 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt,有时可作出斜边的中线ABCPQDO 例2ABC中,B
3、AC=60,C=40AP平分BAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q, 求证:AB+BP=BQ+AQ证明:如图(1),过O作ODBC交AB于D,ADO=ABC=1806040=80,又AQO=C+QBC=80,ADO=AQO,又DAO=QAO,OA=AO,ADOAQO,OD=OQ,AD=AQ,又ODBP,PBO=DOB,又PBO=DBO,DBO=DOB,BD=OD,AB+BP=AD+DB+BPOABCPQD图(2)ABCPQDE图(3)O=AQ+OQ+BO=AQ+BQ 说明:本题也可以在AB截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形,即“截长补短法” 本题利用“平行法”解法也较多,举例如下: 如
4、图(2),过O作ODBC交AC于D,则ADOABO来解决 如图(3),过O作DEBC交AB于D,交AC于E,则ADOAQO,ABOAEO来解决ABCPQ图(5)DO 如图(4),过P作PDBQ交AB的延长线于D,ABCPQ图(4)DO则APDAPC来解决 如图(5),过P作PDBQ交AC于D,则ABPADP来解决(本题作平行线的方法还很多,感兴趣的同学自己研究) 3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形。图 3例3如图3所示,已知点、分别在正方形的边与上,并且平分,求证:。分析:本题要证的和不在同一条直线上,因而要设法将它们“组合”到一起。可将绕点旋转到,则
5、,=,从而将转化为线段,再进一步证明即可。证明略。 4倍长中线法题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内。EABCDFH 例4如图(7)AD是ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE求证:AC=BF证明:延长AD至H使DH=AD,连BH,BD=CD,BDH=ADC,DH=DA,BDHCDA,BH=CA,H=DAC,又AE=EF,DAC=AFE,AFE=BFD,AFE= 图(7)BFD=DAC=H,BF=BH,AC=BF 5翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的,可以试用轴对称性质,沿轴翻转图形来构造全等三角形例5如图(8)已知:在AB
6、C中,A=45, ADBC,若BD=3,DC=2, 求:ABC的面积ABCDEGF解:以AB为轴将ABD翻转180,得到与它全等的ABE,以AC为轴将ADC翻转180,得到与它全等的AFC,EB、FC延长线交于G,易证四边形AEGF是正方形,设它的边长为x,则BG=x3,CG=x2,在RtBGC中,(x-3)+(x-2)=5 解得x=6,则AD=6,SABC=56=15 图(8) ABCPD练习:例3已知:如图(6),P为ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求APB的度数分析:直接求APB的度数,不易求,由PA=3,PB=4,PC=5,联想到构造直角三角形略解:将BAP绕A点逆时针方
7、向旋转60至ACD,连接PD,则BAPADC,DC=BP=4,AP=AD,PAD=60,又PC=5,PD+DC=PC 图(6)PDC为Rt, PDC=90APB=ADC=ADP+PDC=60+90=150、平移法构造全等三角形例如图所示,四边形中,平分,若,求证:。分析:利用角平分线构造三角形,将转移到,而与互补,从而证得。主要方法是:“线、角进行转移”。图证明:在上截取,在与中, (SAS) , , , , , .、翻折法构造全等三角形例如图所示,已知中,平分,求证:。证明: 平分,将沿翻折后,点图 2落在上的点,则有,在与中, (SAS) , 已知中, , , , 。3、旋转法构造全等三角
8、形图 3例3如图3所示,已知点、分别在正方形的边与上,并且平分,求证:。分析:本题要证的和不在同一条直线上,因而要设法将它们“组合”到一起。可将绕点旋转到,则,=,从而将转化为线段,再进一步证明即可。证明略。4、延长法构造全等三角形图 4例4如图4所示,在中,求证:。分析:证明一条线段等于另两条线段之和,常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段,再证明延长部分与另一短线段相等即可;或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长至,使,构造,然后证明,就可得。5、截取法构造全等三角形例5如图5所示,在中,边上的高为,又,求证:。图 5分析:欲证明,可以在上截取一线段等于,再证明另一线段等于。如果截取(如图所示),则可认为而沿翻折而来,从而只需证明即可。证明略。1教学内容2