《小升初奥数专题-第八讲比和比例关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小升初奥数专题-第八讲比和比例关系（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八讲比和比例关系比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题.8.1 比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是32，乙的长与宽之比是75.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2. 甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864875.作为答
2、数，求出的比最好都写成整数.例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是107.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比ABCD=三角形ABC的面积三角形ADC的面积=（10-7）（72）= 314.答：ABCD=314.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大
3、杯与中杯容量之比是52=104，中杯与小杯容量之比是43，大杯、中杯与小杯容量之比是1043.=（102+43+34）（105+44+33）=4475.答：两者容量之比是4475.把52与43这两个比合在一起，成为三样东西之比1043，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲乙=35，乙丙=74，35=3757=2135，74=7545=3520，甲乙丙=213520.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲乙丙=21631632=324863.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、
4、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.x=54.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 65=3025.甲乙丙=302526.答：甲、乙、丙的长度之比是302526.于利用已知条件65，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分
5、母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲乙丙=151110.平均数是（15+11+10）3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比23.因此例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、
6、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是7003=2100分钟）=35小时 .答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是1411，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：1213，乙：53，丙：21，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是1002=50（人）.乙、丙两组男会员人数是
7、 56-24=32 （人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是123.小龙走各段路程所用时间之比依次是456.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.123计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+
8、3）=6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时.可列出比例式8.2 比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11 甲、乙两同学的分数比是54.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是57.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.54=（54）（44）=2016.57=（53）（73）=1521.甲少得22.5分
9、，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5520=90（分），乙得 22.5516=72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x-22.5）（4x+22.5）=57即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=1222.5x=18.甲原先得分185=90（分），乙得184=72（分）.解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5（14-5）=59.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1（3-1）=
10、12=4.59.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把12写成4.59，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8）2x=59.例13 张家与李家的收入钱数之比是85，开支的钱数之比是83，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是85，那么结余的钱数之比也应是85.张家结余240元，李家应结余x元.有240x=85，x=150（元）.实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是85中5份与83中3份的差，每份是1
11、20（5-3）=60.（元）.因此可求出答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的3倍是（8份-240）3.李家开支的8倍是（5份-270）8.从图上可以看出58-83=16份，相当于2708-2403=1440（元）.因此每份是144016=90（元）.张家收入是908=720（元），李家收入是905=450（元）.本题也可以列出比例式：（8x-240）（5x-270）=83.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.
12、例14 A和B两个数的比是85，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.85，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是21，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即21=63，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是342=17.A数是178=136，B数是175=85.答：A，B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的21，改写成84.例15 小明和小强原有的图画纸之比是43，小明又买来15张.小
13、强用掉了8张，现有的图画纸之比是52.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-14=11（张）.小明原有图画纸115-15=40（张），小强原有图画纸112+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）43=201552=208.但现在是208，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，35-42=7（份）相当于图画纸152+85=70（张）.因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随
