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1、线性变换在二维空间和三维空间中的应用1、二维图形的几何变换二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：a b cd e f这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。ad其中be可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；cf I是对图形进行平移变换；gh是对图形作投影变换；i则是对图形整体进行缩放变换。1.1 平移变换X（丁=丁（也）yLdL 1 JId1.2 缩放变换1.3 旋转变换A在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转 角的变换形式如下：ycos-sm0Ysin0y=工Ein召+ yco弟y.1001Ld- 1 -Ia0 0逆时针旋转 取正值，顺时针旋转 取负值。1.4 对称变换对称变换其实只是 a、b、
2、d、e 取 0、1 等特殊值产生的一些特殊效果。例如当b=d=O, a=-1, e=1时有x=-x, y=y，产生与y轴对称的图形。A. 当b=d=0, a=-1, e=-1时有x =x, y =-y,产生与x轴对称的图形。B. 当b=d=0, a=e=-1时有x =-x, y =-y,产生与原点对称的图形。C. 当b=d=1, a=e=0时有x =y, y =x,产生与直线y=x对称的图形。D. 当b=d=-1, a=e=0时有x =-y, y =-x,产生与直线y=-x对称的图形。1.5 错切变换10工+byydx-yLd_ 1 _A. 当d=0时，x =x+by, y =y,此时，图形的
3、y坐标不变，x坐标随初值 （x, y）及变换系数b作线性 变化。B. 当b=0时，x=x, y =dx+y,此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值 （x, y）及变换系数d作线性 变化。平移示意圏b0z/ 1x方向错切变换1.6 复合变换Y方向错切变换如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。复合变换有如下的性质：A. 复合平移对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：2 +如弘+址=丫 2 + 弘+址）B. 复合缩放两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘C. 复合旋转两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：Nd碣-sin0CDS 旳-sin0_co或
4、込+ %-呗 +旳）0_用即凤即=co碣osin肉cosfi0呗+珂）cos( + )0001L 01001放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点（xf, yf）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（xf, yf）点移 回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。D.关于（xf，yf）点的缩放变换O410 o00切o100 10o切o=险仪幻2幻i）01遇环勺）=f（空丹）现,片）巩-勺厂丹）0亏oiri0-Xf=01丹0片001丹0001|_001乜0亏(1 二0幻
5、丹(1 一灯)0 0 1E.绕(xf，yf)点的旋转变换丹;日）=?%,丹）应9）一兮,一丹）0 xf1 一丹0 110弓|込召_如召0|10 1sincos 8 0 00 0 1JL 00lbcos Qsin 30-sin Xj (1 - cos ) + sin 8cos 8(1- cos &) + sin0 11.7、二维线性变换的应用实例在多变量函数积分学中,合理进行变量代换,能起到化繁为简的作用,常用的变量代换,有球坐标,极 坐标代换,或类似此类的代换。而事实上，线性代数为我们看问题提供了一个非常好的视角。线性变换 用于多重积分，曲面，曲线积分中，往往更为灵活，并不是如球坐标等代换较易
6、看出。卜卜 e ax2+2bxy+cz2 dxdy,a 0, b 2 - ac 0例：求 其中卜 ex2 dx分析：这与-8似乎有关系，如何转化？因为r a b( a bxyJ,3 c)b cax 2 + 2bxy + cy 2 = (x y) x定正。（abL-1 =故护正交，使qA即二A正交，使得ax2 + 2bxy + cy2 二九 x2 + 九 y2,detP-1 二 1古 ” s2 d q勺 *)e e y2 d原式=1 2“人 ZC- b 2从以上的讨论看出：必须注意观察已知条件，才能合理进行线性变换，当积分区域，被积表达式具有某种线性的特征时（也即可表为变量的线性组合）往往可以考
7、虑线性变换，而定正矩阵的应用可视为一种技巧。2、三维图形的几何变换由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4 阶方阵，其形式如下：其中41aaaa11121314aaa产生缩放、旋转、错切等变换；a21222324a31a32a33a34产生平移变换，a a 产生投影变换，L产生整体缩放变换。42 43 442.1 平移变换参照二维的平移变换，我们很容易得到三维平移变换矩阵2.2 缩放变换直接考虑相对于参考点(xf, yf, zf)的缩放变换，其步骤为:A. 将平移到坐标原点处；B. 进行缩放变换；C. 将参考点(xf，yf，zf)移回原来位置则变换矩阵为：2.3 绕坐标轴的旋转变换三维空
8、间的旋转相对要复杂些，考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转 q 角的变换A绕x轴旋转cos& - sinnuB.绕y轴旋转cos-sinmoscos。X 7 z三维空间的平移、旋转及缩放示意图2.4 绕任意轴的旋转变换设旋转轴AB由任意一点A (xa, ya, za)及其方向数(a, b, c)定义，空间一点P(x ，y ，z)绕AB轴 p p p旋转角到p(x；，y；，z ；)则rxippyryPZPLd可以通过下列步骤来实现 P 点的旋转：A. 将 A 点移到坐标原点。B. 使AB分别绕X轴、Y轴旋转适当角度与Z轴重合。C. 将AB轴绕Z轴旋转0角。D. 作上述变换的逆操作，使AB回到
9、原来位置。所以R (0)二 T-1(x , y , z )R -1(a)R-i(P)R (0)R (P)R (a)T(x , y , z )aba a a xyz y xa a aa , P其中各个矩阵的形式参照上面所讲的平移，选择矩阵，而分别是AB在YOZ平面与XOZ平面的投影与Z轴3.三维图形变换理论3.1. 三维图形的几何变换b c p e f q h i r m n sJ几何变换是指应用于对象几何描述并改变它的位置、方向或大小的操作三维图形的几何变换也称三维几何变换， 是几何变换在三维空间的应用由于几何变换可以用紧凑的矩阵形式表达，这不仅使得平移、缩放、旋转等变换变得更 加容易，还使得
10、一系列的几何变换可以很容易地结合起来构成1个新的变换.三维几何变换均可以用1个4 X 4的变换矩阵d丁二 JT描述，其变换矩阵为式中：a，b，C，P，d，e，f，q，g，h，i，m,， 8为矩阵T的元素 式(1)可从功能上分为以下部分：ahc_idef(1)3X3子阵L# h i.,，可以产生比例、旋转、错切及对称等变换.1X3行阵1, m，n可以产生沿X, Y，Z轴的平移变换._r(3) 3X1列阵可以产生透视变换(4) 元素8产生整体的比例变换3.2 组合三维几何变换4.2.1.1初等三维变换式(1)是1个十分有用的变换矩阵，它可以描述三维空问的各种变换，但直接使用却十分困难.不如先分析平
11、移、缩放、旋转等初等三维变换矩阵对初等三维变换矩阵进行组合，就得到了组合三维变换矩阵，从而实现一般性的三维几何变换.下面是几个重要的初等三维变换矩阵：010-10Cl(T01000cs0P 二,KO =01(-ac0n1-JO0(J1.C(13 (T-c80(r0100-sC()0R心、000010_000000式中：P为平移矩阵，矩阵中1, m, n分别为沿x , y, z轴的平移量；矩阵，；分别为绕x， y， z 轴的旋转，其旋转角度为 ，这里规定角度逆时针为正； c=COS a； s=sin a4.1.2.2 组合三维几何变换三维几何变换可以任意组合,并且表示总变换的矩阵可以是每个初等三维矩阵乘积的形式任意数目的几何变换都能以这种方式组合在一起并产生1个表示总变换的矩阵T,它由n个独立变换矩阵T , Tl,T2Tn相乘得到，T=T1*T2Tn（3）
