空洞探测模型

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1、关于空洞探测模型的报告论文作者：三院九九刘超慧董强马熠问题重述本题要求我们利用弹性波在介质中和空气中不同的传播速度，来确定矩形平板内的空洞位置。该矩 形平板由均匀介质构成，内有一些充满空气的空洞。在平板两个两边分别等距的设置若干波源，在他们 的对边对等地设置同样多的接受器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接受器的时间，要求确定平 板内位置空洞的位置，并讨论在同样确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。图如下：图_： X轴从左到右分别为P1P7 Y轴从下到上分别为R1R7摘要本模型因引入概率统计求解而可认为是随机模型：我们对平板中分成的小格用概率统计的方法来评判小格成为空洞的可能性。事实

2、上，也就是 对所给的数据及其条件建立一个相对科学的处理方法，类似于拟合的方法，从后面的分析和计算可 知这种方法是可行和科学的。主要结论：第一问的结果在模型的求解中已经给出了空洞的位置图（见模型的求解中第一问 的求解）.第二问的结果：1如果去掉横向RS的波源与接收器，可以确定空洞的位置,但是精 确度有所降低2在同样能够确定空洞位置的前提下，可以减少波源:P3,P5,R3,R5 接收器Q4,Q6,S4,S6（见模型的求解中第二问的求解）.本模型有效的消除了测量方法带来的系统误差带来的影响，只要波的密度和分布的均匀性达 到足够的要求，结果就可以做得很细，很精确。问题分析我们认为该问题是实际应用中的测

3、量问题，主要通过采用适当且有效的方法对已知数据进行分析和 处理，来提取所需的信息。在本题中已知波经过的距离及所用的时间，要求木板中空洞的位置。我们可 以用数据拟合的方法对其进行处理，但数据拟合由于受变量数的限制不容易做得很细,很精确.因而我们 改用统计的方法.首先我们以方板为研究对象，将方板分为尽可能小的细胞，用细胞状态来描述空洞的存在，即0表 示空洞，1表示介质。这样可用元素为0和1的矩阵来表示空洞的分布和形状。由此建立以计算机模拟 为主要思想的模型一，用事件步长法穷举求出空洞的位置。但可能的空洞状态数很多，因此用计算机模 拟的难度比较大，其优点是在划分足够细的条件下能精确描述空洞的位置和形

4、状。接着我们以波为研究对象出发，可得出波给予我们的两个信息：在这个波方向上出现的空洞距离及 交点信息(交点处出现空洞的可能性)，得出空洞可能出现的位置与范围，此为模型二。但由于任意两 条直线交点的复杂性，得出的范围不够准确。经过对以上两种模型的研究，我们考虑中和方板和波两方面的因素，即采用微元划分与最大可能性 判断相结合，用每个微元出现空洞的可能性大小来决定微元的状态(0或1)，从而得出空洞的分布， 由此我们建立模型三。可以发现，该模型具有较好的可行性及较高的可信度。符号系统已知：方板边长L=240米时间矩阵T1= t. %:由P.发出的弹性波到达Q.的时间0.06110.08950.1996

5、0.20320.41810.49230.56460.09890.05920.44130.43180.47700.52420.38050.30520.41310.05980.41530.41560.35630.19190.32210.44530.40400.07380.17890.07400.21220.34900.45290.22630.19170.08390.17680.18100.38070.31770.23640.30640.22170.09390.10310.43110.33970.35660.19540.07600.06880.1042时间矩阵T2=t.0.0645t.:由R.发出的

6、弹性波到达S.的时间0.06020.08130.35160.38670.43140.57210.07530.07000.28520.43410.34910.48000.49800.34560.32050.09740.40930.42400.45400.31120.36550.32890.42470.10070.32490.21340.10170.31650.24090.32140.32560.09040.18740.21300.27490.38910.58950.30160.20580.08410.07060.44340.49190.39040.07860.07090.09140.0583波速

7、：在介质中V=2880米/秒在空气中V2=320 米/秒未知：波长矩阵L1=l. l.:由P.发出到达Q.的弹性波的波长.L2=lijflij:由R.发出到达S.的弹性波的波长同时用1；表示由P.或R.发出到达Q.或S.的弹性波直线。空洞距离矩阵X1=x. Xjj表示由P.到Q.的弹性波上的空洞距离。X2=X. 表示由R.到S.的弹性波l：.上的空洞距离。时间矩阵T3=t.3 t.,3：1 弹性波经过距离全为介质时所需的时间。划分间距a (0a240)则N=L/a为每边被分成的段数。微元矩阵T=Tkm (k,m=0,1,2,N-1) T =km，k表示微元的横坐标，m表示纵坐标。 微元状态矩阵

8、t=tkm (k,m=0,1,2,N-1) tkm =o.微元为空洞，tkm=l，微元为介质概率矩阵PL1=Plij： Pl.j：:由P.到的波单位距离内存在空洞的概率。 PL2=Pl： PL :由R.到S.的波l单位距离内存在空洞的概率。ij:ij:i i ijP1=Pij： Pij：:由P.到Qj的波Lj单位距离内存在空洞的加权概率。P2=Pij： Pij：:由R到S.的波l；单位距离内存在空洞的加权概率。 概率矩阵PT=Ptkm： Ptkm：:微元T；m：为空洞的概率。权矩阵W=w. W.:波(由于波长不同对微元Tkm：作用的权 波的集合Akm= j,匕：经过微元Tkm: 元素个数为彳成

9、 微元集合B.:T： , Tkm在波lij：上?元素个数为n.模型假设我们认为“弹性波”是指在反射、折射及相互干涉中都没有能量损失的波。其波速仅与波在其中传 播的介质有关，且在同一均匀介质中波速不变。我们假设有条件使波源发射的弹性波具有很强的单向性， 且波源与接受器的仪器精度足够高。因此我们做出以下假设：1. 表中给出的时间数据客观且真实地反映了实际情况，即所记录的数据准确无误。2. 波在传播过程中沿直线单向传播，且不考虑波的反射、折射以及干涉等现象。3. 波的发射与接收为一一对应的，且波的发射与接收均为瞬时。因此我们认为记录的时间即为波沿 直线由发射点到接收点的传播时间，且波的传播时间仅由波

10、在该均匀介质中经过的距离和在空气中经过 的距离决定。4. 已知弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同，因此我们同等地看待每个波，不因 它们的位置不同而有所区别。5. 由实际情况可知，空洞的分布应为分段连续的，因此不能求出每一点出现空洞的概率，而只能用 一个区域内出现空洞的概率来逼近每一点的概率.当把板分成微元后，我们可认为一个微元只可能出现全 是空洞或全是均匀介质两状态.模型的建立与求解第一问的求解：1微元的划分我们选取适当的a为间距，将方板划分成N*N个微元，其中N=L/a.并对每个微元进行标定，用Tkm表示微元，k表示微元的横坐标，m表示纵坐标。*注:实际求解中我们发现取a=10

11、, N=24时所得解较优我们在后面将会证明.2波上单位距离的空洞概率矩阵PL1,PL2的求解(由程序一完成见附录)I1i 一 i)2求出波长矩阵L1,L2: 1 = |242 + tX24丫 6J(2)根据时间矩阵 T1,T2,T3 求出空洞距离矩阵 X1,X2: x.=( t. -tij3 )/(1/v2-1/v1 )X1(a=10):-8.00401.807540.243539.6145114.4660138.1780160.83105.1915-8.6880 128.4555123.8355138.1825152.662097.930078.2595118.3035-8.4720119.

12、0955118.003594.730533.034082.4185128.6955115.0275-3.432033.9915-4.972542.854589.5900129.506549.855538.59950.204033.235533.547598.002078.322051.566578.691549.39953.80406.7035X2(a=10):112.771083.242092.326036.8065-4.2525-5.64457.5120-6.7800-8.7405-2.344593.0385103.1620116.2540163.5310-3.3045-4.800072.

13、2595124.663592.1385136.7500140.230092.803584.96755.0640116.9355121.0275129.902575.982098.042586.7915122.47956.252086.551545.21153.074577.890053.186584.091586.80352.544037.051545.067559.9140104.0260178.682576.963543.67550.2760-4.9965117.1990138.0340104.4940-5.2415-6.08852.4915-9.0120*注：以上两矩阵中出现负值是由于对

14、测量值没有进行修正，但因为我们采用概率比较的方法对其进 行统计，因而不会对最后结果造成影响.对于后面出现的概率值都只是对其大小进行比较，所以 其值是否在01之间并无影响.(3)根据L,X求出波上单位距离为空洞的概率矩阵PL1,PL2: Pl.= x./ l.考虑只有一条波的情况,由于此条波经过的空洞这条波上的可能位置是随机的，因此可假设波上 单位距离内存在空洞的可能性是相同的，也即概率相同。此分布概率不仅与波上存在的空洞距离x；有 关，而且与该波的总长有关。且该波的总长越小，所经的空洞距离越大，则单位距离内存在空洞的概 率越大。所以我们设每个波出现空洞的概率Pl/ x./ I.3求经过微元Tkm的波的集合七。(由程序二完成见附录)当划分足够细时，认为可以用微元的中心O.(X.,Y.)表示微元T .考虑用O.(X.,Y.)到波的距离d来 ij ij ijkmij ij ij决定波是否经过微元Tkm，方法如下：求出波1的直线方程为A