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1、一元二次方程全章复习与巩固一知识讲解(提高)【学习目标】1. 了解一元二次方程及有关概念；2. 掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次一一解一元二次方程；3. 掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.【知识网络】【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程.2. 元二次方程的一般式：ai -bx+c = H 0)3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时
2、，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程； 其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0.要点二、一元二次方程的解法1. 基本思想兀二次方程兀一次方程2 .基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法.要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 一元二次方程根的判别式一元二次方程 ax2 bx c 二 0(a0)中，b24
3、ac 叫做一元二次方程 ax2 bx 0(a = 0)的根的判别式，通常用“来表示，即厶二b2 -4ac(1 )当厶0时，一元二次方程有 2个不相等的实数根;(2) 当厶=0时，一元二次方程有 2个相等的实数根；(3) 当厶0时，一元二次方程没有实数根 .2. 一元二次方程的根与系数的关系c x1x2.aa工0,0.如果一元二次方程ax2 bx c = 0（a = 0）的两个实数根是x1, x2,那么 x1x2 -,a注意它的使用条件为 要点诠释:1. 一元二次方程- -的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题:（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参系数的性质确定根的范围；（3）解与
4、根有关的证明题.2. 一元二次方程根与系数的应用很多：（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；（2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.要点四、列一元二次方程解应用题1. 列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2. 利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系3. 解决应用题的一般步骤：审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；列（根据题目中的等量关系，列出方程）；解（解方程，注意
5、分式方程需检验，将所求量表示清晰）；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答（写出答案，切忌答非所问）.4. 常见应用题型数字问题、平均变化率问题、禾利息问题、利润（销售）问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1 .已知（mi 1） x|m|+1 +3x- 2= 0是关于x的一元二次方程，求m的值.【答案与解析】依题意得|m|+1 = 2，即|m| = 1,解得m= 1,又 m_ 1 工 0 im 1,故 m=- 1.【总结升华】依题意可知m- 1丰0与|m|+
6、1 = 2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意 举一反三:2m =2,根据题意得_jv -运鼻0,【变式】若方程(m-2)xm -3mx-1=0是关于x的一元二次方程，求 m的值.【答案】所以当方程(m 1 且 a 工 5 C【答案】A；的方程(a 5)x? 4x -1=0有实数根.则.a1且 5a满足()D .5【解析】当a-5=：0，即a =5时，有4x-1=：0, x =-丄，有实数根;4当 a-5=0 时，由0 得(-4)2一4 (a-5) (-1)_ 0 ,解得 a_1 且 a = 5.综上所述，使关于 x的方程(a-5)x
7、2-4x-1 =0有实数根的a的取值范围是 a_1.答案：A【总结升华】 注意“关于x的方程”与“关于x的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0.4. k为何值时，关于x的二次方程kx? - 6x 9 = 0(1) k满足时,方程有两个不等的实数根；(2) k满足时,方程有两个相等的实数根；(3) k满足时,方程无实数根.【答案】(1) k1.【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式厶二b2 _4ac及k丰0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5. 已知关于x的方程x2 -2(m -
8、2)x m2 =0，试探求：是否存在实数 m使方程的两个实数根的平方和等于56,若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由.【答案与解析】存在.2 2 2设方程两根为X1、X2，根据题意，得x-ix2=2(m-2) ,x1x2= m ,x1x2-56 ,而 X； X； =(xX2)2 -2X1X2，于是有2(m -2) f -2m2 =56，整理得 m2 -8m-20 二 0 ,解这个方程得 mi =10 , m2 = -2 ,当 m=10时，= b2 4ac 鬥2(m-2)2 4m2 =T44 ： 0,222当 m - -2时，= b -4ac =-2(m-2) -4m =480,所以符合条
9、件的 m的值为-2 .【总结升华】 由两个实数根的平方和等于56,列出关系式，再由根与系数关系求出m的值，通过判别式去验证m值是否符合题意，从而得出结论 .举一反三:_ _ 一 2【变式】已知关于x的方程（k-1）x （2k-3）x k1 =0有两个不相等的实数根 X,、x2.（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在,请说明理由.【答案】(1)根据题意，得= (2k-3) 2-4(k-1)(k+1)= 4k2 -12k 9-4k2 =-12k 13 0 ,13所以k.由k-1丰0，得k丰1.1213当k 且kz 1时，方程有两个不
10、相等的实数根;12不存在如果方程的两个实数根互为相反数，则2k 一3小丽/曰,3X1 X20，解得 k =.k -123当k时，判别式厶=-5 v 0，方程没有实数根.2所以不存在实数k,使方程的两个实数根互为相反数.类型五、一元二次方程的应用6 甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进乙在由C地到达A地的途中因故停了 20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了 40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度【答案与解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/
11、时.根据题意，得旦=址旦_心x+4 x60解之,得 x 1=16, x2= 2.经检验：X1=16, X2= 2都是原方程的根，但 X2= 2不合题意，舍去.当 x=16 时，x+4=20.答：甲每小时行驶 16千米，乙每小时行驶 20千米.【总结升华】 注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m），因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了2 1440m.求：（1）该工程队第一天拆迁的面积；第#页(2) 若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数【答案】(1) 1000m2； (2) 20%第 # 页
