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1、高中数学解题思想方法技巧全集34_参数开门_宾主谦恭 你的首选资源互助社区 数学破题36计 第34计 参数开门 宾主谦恭 ?计名释义 参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用. 在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩. 有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定;二是参数根本不在，要你“无中生有”. ?典例示范 2y2【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共PFFQ2线，与共线，且?
2、,0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值. MFPFMFFN【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式. 幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了. 【解答】 如图，由条件知MN和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0，1)， MN，直线PQ且PQ?、NM中至少有一条 存在斜率，不妨设PQ的斜率为k. 【插语】 题设中没有这个k， 因此是“无中生有”式的参数. 我们其所以看中它，是认定它 不仅能表示|PQ|= f(k)，还能
3、表示|MN|= f(k). 例1题解图 1222【续解】 又PQ过点F(0，1)，故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得(2+k)x+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则 112222,k,2k，2,k，2k，2,x=， x12222，k2，k22222(1，k)8(1，k)222从而,PQ,(x-x)+(y-y)=, 亦即|PQ|=. 12122222，k(2，k)【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关222(1，k)系|PQ|=f(k)=标志着主宾易位，问题已经发生了转程. 122，k1【续解】
4、 (?)当k?0时，MN的斜率为-，同上可推得， 你的首选资源互助社区 1，2221，(,),k，MN,=, 122，(,)k11224(1，k)(1，)4(2，k，)221kk,故四边形S,|PQ|?|MN|=. 12223(2，k)(2，)5，2k，21k2k4(2，u)112令u=k+，得S=. ,2(1,)2k5，2u5，2u1162因为u=k+?2，当k=?1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以 29k16?S2x+a+1. ,2,2即a(x-1)+(x-2x-1)0当a?,-1，1,时恒成立. 2令f (a)=a(x-1)+(x-2x-1). 2,或f(,1),0x
5、,3x,0x,0x,3,只须(-?,-1)?(3,+?)即为所求.【例3】 求函,x,2f(1),0或x,1x,2,x,x,2,0,3，sinx数y=的最大值与最小值. 2， 你的首选资源互助社区 2t3，223t，2t，3x1，t【解答一】 设tan=t，则y= ,2221,tt，32，21，t2即t(y-3)-2t+3y-3=0 ? x?t=tan?R, ?关于t的方程?必有实数根, ? = 4-4?3(y-3)(y-1)?0. 2222即3y-12y+8?0，解得:2-?y?2+. 333322即y =2+，y =2-. 33maxmin332【解答二】 原式变形:sin x-y cos
6、 x=2y-3，sin (x+)=2y-3. 1，y2? |sin (x+)|?1，?|2y-3|. 1，y2平方化简得:3y-12y+8?0.(下略) 【点评】 本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数, 按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或 通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理 由是:这样解法简单，而且同样能达到目的. 2【例4】 若cos+2m sin-2m-20恒成立，试求实数m的取值范围. 解答】 反客为主，不看成关于sin的二次式，而看成关于m的一次式. 【2原不等式即:2m
7、(sin-1)1+sin, 如sin=1，则01恒成立，此时m?R.如sin?1，?sin?,-1,1,，只能sin?,-1,1)，于是sin-12- ,1,sinsin-1，2? (1-sin)+?2. 21,sin22，当且仅当1- sin=，即sin=1-时，(1,sin)，=2, 22,1,sin1,sin，min2，1，sin?=2-2. 2,sin,1，max21，sin为使2m恒成立,只需2m2-2，?m1-. 22sin-1综合得:所求m的取值范围为:m?(1-，+?). 你的首选资源互助社区 22xy【例5】 已知动点P为双曲线=1的两个焦点，F，F的距离之和为定值，且co
8、s?FPF的最,1212231小值为. ,9(1)求动点P的轨迹方程; (2)若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上，且=，求实数的取值范围. DMDN【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆， 1当P在椭圆上时，由cos?FPF=0，且rr?,11212rr2rr2rrrr12121212222r，r2a,102a,10,212=a，?，从而 ,22rra,1222a,1010cos?FPF?-1=1-, 1222aa110222当且仅当r=r，即P为短轴端点时,1-=，?a=9，?c=5，?b=4. ,1229a22xy?所求动点P的轨迹方程为:=1. ，94(2)由(1)知点D(0,3)在椭
9、圆外，设M(m，s)，N(n，t)在椭圆上. ?=，即(m，s-3)=(n，t-3), DMDN 你的首选资源互助社区 22,nt，,1,m,n,94? ? ,222s,(t,3)，3,(,3,，3)nt,，,1,94,222t,(,t,3,，3)22消去n得: ,14化简得:(13-5)(-1)=6t(-1) 如=1，则=，M，N重合于一点，且为椭圆与直线DM的切点. DMDN13,513,51如?1，有:t=，?|t|?2，-2?2，解得?,，5,. 6,6,5【点评】 设参、消参及参数的讨论，历来是高考的重点和难点之一，特别当参数较多时，往往感到不得要领或无从下手，对这类问题的基本对策是
10、:当参数多于两个时，应逐渐消去非主要的参数，最终得到两个互相依存的参数，最后或通过均值不等式，或通过解一般不等式，或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围. 【小结】 什么样的问题适合“反客为主”,如果问题本身并不繁难，大可不必画蛇添足，故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难，但题型单一，本来就无主次之分，也就无从反客为主. 所以，适合“反客为主”的问题，一定是正面比较繁难，而交换主突位置(例如含参变量的方程或函数)则相对容易破解问题. ?对应训练 2x,2x，41.求使A=为整数的一切实数x. 2x,3x，33，2,86,5,7xyxy,2.已知方程组与同解，求m、n的值. ,332,11,17
11、，11,1mxyxny,43223.解关于x的方程:x-6x-2(a-3)x+2(3a+4)x+2a+a=0. ,11,4.已知正项数列a中，a=1，且S=，求该数列的通项. a，n1nn,2an,325.解方程x+(1+)x-2=0. 2?参考答案 1.反客为主，让x为A服务. x，1?A-1= 当A?Z时，亦有A-1?Z. 2x,3x，3若x+1=0，则A=1?Z(x= -1). 你的首选资源互助社区 1若x+1?0，有:A-1=?Z.这有两种可能. 2x,3x，3x，12x,3x，322(1)=?1. x-4x+2=0，x=2?;或x-2x+4=0，无实数解，舍去. 2x，12x,3x
12、，32(2)是分子1的真分数. 令x-3x+3=1，得x=1或2. x，1故所求实数为x=-1，1，2，2?.相应的整数为A=1，3，4，2. 22.设两方程组的相同解为(x，y). 003，2,8,2xyx,000由, ,6,5,7,1xyy000,3,2,11,1nxy4,1,3mnm,00,代入. ,356，11n,1n,5,7x，11ny,1,00,3.反客为主，原方程改写为关于a的一元二次方程: 2243222 2a-(2x-6x-2)a+x-6x+6x+8x=0. ,a-(x-3x-1),=(x-1) 2=(xa-3x-1)?(x-1) 22有x-2x-2-a=0 ? 或x-4x-a=0 ? 2 )由?:(x-1= a+3. 当a?-3时，x=1?. a，32由?:(x-2)=a+4. 当a?-4时，x=2?. 故a
