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1、一、知识结构：二、基本知识点：1.向量的概念：(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 ，；坐标表示法(3)向量的长度：即向量的大小，记作(4)特殊的向量：零向量0.单位向量为单位向量1(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量2.向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理：是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向
2、量，有且仅有一对实数，使 (2)两个向量平行的充要条件(3)两个向量垂直的充要条件O(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为，即，则 (向量公式) (坐标公式)当1时，得中点公式：（）或(5)平移公式 设点按向量平移后得到点，则+或，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为： (6) 正弦定理：余弦定理： ，三、巩固训练（高考试题）广东卷1已知平面向量，且，则x=（ ）A. 3 B. 1 C. 1 D . 3全国卷三理（10）文(11) 在中，则边上的高为（ ）A. B. C. D. 全国卷四理11文12ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边.如果a，b，c成等差数列，B=30，
3、ABC的面积为，那么b=（ ）A B C D全国卷四文15向量,满足(-)(2+)=-4,且|=2,|=4,则与夹角的余弦值等于 ()天津卷理3文4. 若平面向量与向量的夹角是，且，则A. B. C. D. 天津卷文14. 已知向量，若与垂直，则实数等于 （1）浙江卷文理14.已知平面上三点A,B,C满足则的值等于 -25福建卷文理8已知、是非零向量且满足(2) ，(2) ，则与的夹角是A B C D湖南卷文8已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（ ）ABC16，0D4，0江苏卷16.平面向量中，已知=(4，-3)，=1，且=5，则向量=_（）上海卷文理6已知点A(1, 2),若向量与=2,
4、3同向, =2,则点B的坐标为 (5,4)全国卷一文理3已知,均为单位向量,它们的夹角为60,那么|+3|=A B C D4全国卷二理（9）已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则，其中（ ）（A）（B）（C）2（D）2全国卷二文（9）已知向量、满足：|1，|2，|2，则|（ ）（A）1（B）（C）（D）重庆卷文理6若向量的夹角为，,则向量的模为：（ ） A 2 B 4 C 6 D 12湖北卷理4文7已知为非零的平面向量. 甲：（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙
5、的必要条件湖北卷文理19 如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值 (一)平面向量1考试内容：向量，向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移2考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念（2）掌握向量的加法和减法（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直
6、的问题，掌握向量垂直的条件（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式3四年试题：（2000文(2)，理(4)）设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(ab)c(ca)b=0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)=9|a|24|b|2.中，是真命题的有（）（）（）（）（）分值5难度文史理工052064 （2000文(22)，理(22)）如图，已知梯形中，点满足，双曲线过三点，且以为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围 DAEBC：文史类，题目中的给出具体的值，求离心率的值）分值14难度文史理工0
7、07008（2001文(5)）若向量a=(3,2)，b=(0,-1)，则向量2ba的坐标是（）（）（）（）（）分值5难度0905 (2001理(5)若向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，则c=（）（）a+b（）ab（）ab（）a+b 分值5难度0935 (2001文(10)，理(10)设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于两点，则（）（）（）（）（）分值5难度文史理工06200790（2002文(12)，理(10)）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为（）（） （）（）（）分值5难度文史理工04530623（2002文(22)，理(2
8、1)）已知两点，且点使，成公差小于的等差数列（）点的轨迹是什么曲线？（）若点坐标为，记为与的夹角，求分值12难度文史理工016025（2003文(8)，理(4)）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心分 值 5难 度文 史理 工（2003文(22)，理(21)） 已知常数，向量c = ， i = (1，0)，经过原点以c+i 为方向向量的直线与经过定点以i -2c为方向向量的直线相交于点，其中R，试问：是否存在两个定点，使得为定值， 若存在，求出的坐标， 若不存在，说明理由分 值文14 理12难 度文 史理
9、工4命题趋势2000年- 考查向量基本概念，定比分点公式;2001年- 考查向量坐标运算， 向量的数量积;2002年- 考查向量坐标运算，基本定理， 向量与数列的综合;2003年- 考查向量与平面几何的综合; 向量与解析几何的综合;四年的命题体现了平面向量考查的三个层次(见考试说明解析中国考试2003NO3)第一层次：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，数乘要求考生掌握平面向量的和，差，数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算(2000年的考题)第二层次：主要考查平面向量的坐标表示，向量的线性运算(2001年的考题)第三层次：和其他数学内容结合在一起，如可
10、以和曲线，数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知识有机地结合在一起，能为多角度的展开解题思路提供广阔的空间。题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满完成解答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算。5复习建议（1）充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的重要体现，因此，平面向量容易成为中学数学知识的一个交汇点。（2）在基础知识复习时，要注意向量考查的层次，分层次进行复习。第一层次：复习好向量本身的内容，包括平面向量的主要概念，主要运算：和、差、数乘、内积的运算法则，定律，几何意义及
11、应用。第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示，线性运算，基本定理以及内积的应用，以及课本例题的教学价值，例如2002年的选择题 （2002文(12)，理(10)）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为（）（） （）（）（）这道题可以用向量的坐标表示计算。设，由题意于是2得于是点的轨迹方程为但是如果利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题例5，已知不共线，则有 ，如果用表示，表示，则有这里给出了共线的一个条件而2002年选择题恰恰就是这个例题的变化，因此点在两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有，即从这道试题可以启发我们，在教学中一定
12、要落实课本，落实课本的例题，挖掘课本例题在培养数学能力上的作用第三层次：平面向量与其它知识的结合。A与平面几何的结合：在平行四边形中，若，则，即菱形模型。若，则，即矩形模型。在中，是的外心；一定过的中点；通过的重心；，是的重心；，是的垂心；通过的内心；则是的内心；B与代数的结合 弄清实数乘积与平面向量数量积的异同点：向量的数量积与实数的积的相同点：实数的乘积向量的数量积运算的结果是一个实数运算的结果是一个实数交换律分配律 且 |向量的数量积与实数的积的不同点：实数的乘积向量的数量积结合律或 代数不等式：由, ，可得 。C与解析几何结合定比分点公式若，则是的定比分点，为定比，满足。点向式直线方程已知点及方向向量，可确定过，以为方向向量的直线方程为 .（3）精选典型例题及练习题扩大学生的解题视野。例1、已知a=，b，c=a+b，是否存在实数，使a 与c的夹角为锐角，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。（考查数量积的应用及严密的推理能力）例2、在坐标平面上有两个向量a，b，其中。（）证明（a+b）（a- b）；（） ka+b = a-kb ，求的值，其中为非零常数。（考查数量积与三角函数综合）例3、已知的面积为，且。（）若，求向量与的夹角的取值范围；（）记，（），若以为中心，为焦点的椭圆经过点，当取得最小值时
