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1、高二数学直接证明与间接证明（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：直接证明与间接证明二. 重点、难点：1. 直接证明（1）综合法利用已知条件和某些数学定义，定理公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。（2）分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把到证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件，定理，定义，公理）。 2. 间接证明反证法（针对否定命题，关于不存在，不成立的证明）假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。【典型例题】例1 在ABC中，求证：
2、。证明：例2 如图，设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/轴，证明直线AC经过原点O。证明：因为抛物线的焦点为F（）所以经过点F的直线AB的方程可设为代入抛物线方程得设A（），B（），则是该方程的两个根，所以因为BC/x轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为（）故直线CO的斜率为即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O例3 已知P是ABC所在的平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，PH平面ABC于H，求证：。证明：连CH延长交AB于D PCPA，PCPB PC平面PAB PCAB，又PH平面ABC PHAB AB平面PCH，PDAB又PAPB
3、，由三角形面积公式有 又 同理 例4 如果，求证：。证明： 例5 求证：证明： ，要证只需证即证，即，即证 显然成立 例6 如图AB为O的直径，O在平面内，SA平面，SBA=30，动点P在圆O上移动（不重合于A、B两点），以N和M表示点A在SP、SB上的射影，BAP=，AMN=。求证：（1）SPB是直角三角形，（2）AN平面SPB。证明：（1） 是直角三角形（2）例7 用适当方法证明：已知：，求证：证明：（用综合法） 例8 已知函数，请用反证法证明没有负数根。证法1：设存在，满足，则又，所以，即与假设矛盾故方程没有负数根证法2：设存在，满足（1）若，则，所以与矛盾（2），则，所以与矛盾故方程没
4、有负数根例9 如果一条直线与一个平面平行，点A在平面内，直线经过点A与平行，则在内。解析：假设不在内 ， 由点A与直线可确定一个平面与有公共点A 必有一条经过点A的交线，从而 又 这与和有公共点A矛盾 原假设不成立 例10 已知，求证：。分析：直接证明难以入手，假设原结论不成立，则，这样它可以作为条件与原条件结合在一起，通过消元产生矛盾式。解析：假设，那么 将代入得，即由此得出矛盾 例11 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为，求证：。证明：分析法：要证，即证也就是只需证需证又ABC三内角A、B、C成等差数列，故B=60由余弦定理，有，即故得证综合法：证明： ABC三内
5、角A、B、C成等差数列 B=60由余弦定理，有，得等式两边同时加上得等式两边同除以得， 即例12 已知且，求证：证明：（1）当且仅当时等号成立 不等式成立例13 已知函数是（，+）上的增函数，。（1）证明命题：若，则（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论。证明：（1）又两式相加，得（2）假设，那么这与已知矛盾，故只有成立，因此逆命题成立。例14 已知。（1）求证：；（2）求证：中至少有一个不小于。解析：（1）（2）假设中至少有一个不小于不成立，则都小于，则，而，这与相矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即中至少有一个不小于。将将城【模拟试题】1. 分析法证明问题是从所证命题的结论
6、出发，寻求使这个结论成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件又非必要条件2. 下面的四个不等式： 其中恒成立的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 已知函数，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4.（07陕西理10）已知平面/平面，直线，直线，点，点Bn，记点A、B之间的距离为，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ） A. B. C. D. 5. 锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半。以上推理运用的推理规
7、则是（ ） A. 三段论推理 B. 假言推理 C. 关系推理 D. 完全归纳推理6. 已知数列的前项和，而，通过计算，猜想（ ） A. B. C. D. 7. “金导电、银导电、铜导电、铁导电、锡导电；所以一切金属都导电”。此推理方法是（ ） A. 完全归纳推理 B. 归纳推理 C. 类比推理 D. 演绎推理8. 已知，且，讨论+的值的符号时，推理如下： 是增函数， 又为奇函数 ， 同理 以上推理过程为（ ） A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D. 数学归纳法9. 已知，则的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 不小于0 D. 不大于010. 已知，则正确的结论是（ ） A
8、. B. C. D. 大小不定11. 命题“对任意的”的否定是（ ）A. 不存在B. 存在C. 存在D. 对任意的12. 若，则是（ ）A. 等边三角形B. 有一个内角是30的直角三角形C. 等腰直角三角形D. 有一个内角是30的等腰三角形 13. 已知是不全相等的正数，求证：。 14. 设，且，试证。 15. 用反证法证明，若，则。 16. 证明是无理数。 17. 已知函数对任意实数都有，并且当时，。（1）求证：是R上的增函数；（2）若，解不等式 试题答案1. A 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. B 8. C 9. D 10. B11. C 12. C13. 证明： 同理 同理 是不全相等的正数 ，三式中不能全取“=”号 三式相加 14. 证法1：，这显然成立 证法2： 15. 证明：假设不大于，则或 与或这些都与已知相矛盾，则16. 证明：假设不是无理数，则是有理数设，其中为互质的正整数，两边平方：则是5的倍数，则也是5的倍数，令为正整数，则则所以是5的倍数，同样也是5的倍数那么这与为互质的正整数相矛盾，所以是无理数17.（1）证明：设任意，且，则有，利用已知条件“当时，”得，而即，所以是R上的增函数（2）由于，所以由得由是R上的增函数，得，解得
