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1、三、对质心的动能定理：质点组相对质心平动参考系的动能变化定理就称为对质心的动能定理。质心平动参考系一般来说不是惯性系，但是可以证明相对质心的动能定理在形式上和上次课讲到的惯性系中的动能定理一样。现在我们先来找出质点组对质心的动能和相对定点的动能之间的关系，这两者之间的关系就是柯尼希定理。1、 柯尼希定理：如图所示：0-x、y、z是固定坐标系即惯性系，是质心平动坐标系它不一定是惯性系，若作加速运动就是非惯性系质点组内任一质点相对两个不同坐标系的位矢的关系是： 将此关系式两边对t求一次导数，然后代入质点组对定点O的动能表达式中去，则有： 我们在讨论对质心的动量矩定理时已经推导过： 左式右边中的第一
2、项是质点组随质心一起平动时的动能，也就是质点组全部质量集中在质心而运动时的动能，所以就称它为质心动能。第二项是质点组中各个质点相对于质心运动时的动能，对刚体来说只能是相对质心的转动动能。这个等式表明，质点组对惯性系的动能T就等于它的质心的动能加上相对于质心的动能，这个关系就是著名的柯尼希定理。2、质心动能定理：有了柯尼希定理，也就可以着手推出质点组对质心的动能定理。上一次课我们已经推出了质点组对定点也就是惯性系的动能定理：和柯尼希定理：质点组对定点o的动能。并考虑到质点相对固定点的位矢与相对相对质心的位矢之间的关系：，我们将这两个关系式代到（1）式中去就可以得到： 这等式右边的第一项应等于零。
3、又根据质心运动定理知 等式右边的第三项和等式左边的第一项就可抵消掉，于是上面的等式就可写成： 就是质点组相对质心的动能，如果令它为T的话： 则上式又可简单地写成：，此等式表明了质点相对质心的动能的微分就等于质点组相对质心位移时内力和外力所作的元功之和。因此它就是质点组对质心的动能定理，在形式上它与相对固定点的动能定理完全相同。但是我们要注意：只有在质心这个特殊的非惯性系中，质点组的动能与功的关系在形式上才和惯性系中一样，对于其他一般的非惯性系是不会有这样的结论。不管对哪一个物理定理应用时必须要注意到它的前提是什么，条件是什么，适用范围是什么，不能随意外推。对质心动能定理它的适用范围就是质心平动
4、参考系，对一般的动点是不适用的。到这里为止，我们总共花了两次课多一点的时间，把质点组的三个基本定理讲完了。最后就三个基本定理作个小结，然后再举些具体例子来应用它的求解。三定理小结：质点组的三个定理与质点的三个基本定理有什么区别？1、质点组的三个定理具有一个共同的特点，这个共同的特点是揭示了质点组的整体动力学性质。我们由前面对三个定理的推导过程可以看出，三个定理都是从质点运动微分方程 出发，然后按质点组的这一普通概念推出的。在推导过程中，并没有什么新的假定加入，又加上质点组本身没有什么特殊的限定，所以它们具有普通性意义，它们不仅适用于刚体，也适用于连续介质等各种不同的质点组。另一方面要注意，它们
5、是不足以解决每一个质点的运动，这因为质点组的三个定理只说明了对质点组的运动与力的总体特征。动量定理只能给出三个标量方程。动量矩定理的标量方程也只有三个，动能定理是个标量关系式，所以动能定理的方程只有一个，加起来总共只有七个方程。然而，我们知道描写一个质点的运动需要3个独立坐标，也就是说一个质点有三个自由度。那么，2个质点的自由度就是6个，3个质点的自由度是9个，4个质点的自由度是12个，质点组内质点越多自由度也就越多。要想解出每个质点的运动，就需要建立与自由度数相等的独立方程，即3个定理只有7个方程独立的只有6个，当质点组内只有两个质点时，才可以用三个定理解出每个质点的运动。除此之外光靠三个定
6、理是解不出来的，还得结合运用其它关系。说三个定理是不足以解决每一个质点的运动的。正是这种原因，好多书上都不讲它的具体应用，只是给出三个定理，其目的是为了讲刚体服务的，把它们只是作为研究刚体力学的基础。2、是刚体力学的基础。虽然有些书上不讲三个定理的具体应用，但是我想在课堂上还是有必要讲一下它的具体应用，也就是说：如何应用这三个定理来解题。3、如何解题：对比较简单的质点组动力学问题，我们可以直接应用质点组的三个定理来求解。直接应用三定理。但是大部分质点组问题并不是这么简单的，不可能只利用这三个定理就可直接求出，除了要用这三个定理之外，还得加上质点组内各质点间的约束关系和配合其他定理的应用才能得到
7、解决。加约束关系，应用其他定理：找约束关系是有技巧的，这种技巧是没有统一的章法可循，只有通过多解题，多练习，才能熟能生巧。至于如何找约束关系下面会举例说明。三个定理除了直接分别应用之外，根据问题的需要也可联合起来使用。三定理联合使用：这种题目就属综合性题目，有时还得对个别的质点应用F=ma来帮助求解。不管哪类问题在列方程的时候，方程的个数不能少于未知量的个数，少于未知量的个数，将解不出结果。这个道理我想大家都是知道的，在这里我只不过是提醒一下而已。举例： 例1在光滑的水平面上，放有一个圆环，它的半径为a，质量为M。有一小虫，质量为m，在环上爬行，问小虫和圆环中心的运动轨迹如何？解：由题意我们可
8、以知道：由圆环和小虫组成的系统 是有相对运动的系统。在开始的时候，即t=0刻， 小虫开始爬行。在小虫没有开始爬行的时候，系统是静 止不动的，小虫和圆环组成的系统在t=0时刻，它的质心是静止不动的，即质心速度等于零：Vc=0。题目告诉我们水平面是光滑的，这就等于告诉我们，圆环在水平面上不受摩擦作用。那么对圆环和小虫组成的系统来说在水平方向还有没有受到其他外力的作用呢？没有。垂直水平面方向的力是一对平衡力，其合力为零，另外它与我们所研究的问题无关，我们也可以不考虑它在垂直方向上的受力情况。既然系统所受的外力之和等于零，那么由质心运动定理直接可以知道系统的质心加速度是等于零的：。所以系统的质心在空间
9、是固定不动的。由于质心是固定的，我们只要把质心作为固定坐标原点，那么我们就比较容易找出小虫和圆环中心的运动轨迹。而这个运动系统的质心位置是很容易求得。根据质心的定义可以知道，我们所研究的系统它的质心必定在圆环中心与小虫的连线上，假设系统的质心c离圆环中心的距离为MC，根据质心的定义可得：就等于：求环心到系统质心c的距离时可以把圆环中心看作计算质心的坐标原点O，分子中M应乘以0。m应乘以圆环的半径。由此结果可马上得到小虫离质心c的距离 。所得到的两个结果表明和都是常数，这就说明了小虫和圆环在运动过程中，小虫和环心相对质心c的距离始终保持不变。所以小虫的运动轨迹是如图所示的以质心c为圆心的一个圆形
10、轨道，其半径就等于 。圆环中心的轨道也是以质心c为圆心的一条圆形轨道。这个例子的求解说明了两点：1.对有相对运动的系统，应该先求出质心的运动，然后就比较容易求出各部分的运动情况。通过此题解得的结果还说明了：小虫和圆环中心的运动轨迹的形状，与小虫相对圆环的运动速度无关。在上面的求解过程中根本没有用到小虫的相对速度这个条件，因此，不管小虫相对圆环的运动是匀速的还是不匀速的，甚至也可以是爬爬停停的，它们的运动轨迹是一样的，不会因为小虫的相对运动情况的不同而发生变化。到这里我们对讨论课中提出的一个问题，即：人从船的一端走到另一端，不管他走的方式怎么样，人和船相对地面走过的距离好不好计算？这里仍然假设船
11、与水之间摩擦可以略去。这个问题与我们上面所举的例子相似，现在我们自然很容易求解，不必像普通力学那样一定要先假设人相对船作匀速运动。然后再应用动量守恒定律来求解。解：例2： 一条质量比较小但具有弹性的绳子（质量比较小就意味着绳子的质量可以忽略不计），其两端系有两物体P和，质量分别为m和，放在一光滑的水平面上，物体之间的距离等于绳子的固有长度，物体P沿着长度增加的方向受到打击，给m一个冲量I，见左图。求出绳子恢复其固有长度后两个物体的速度。还问p能否追上？ 解：能够追得上m。怎么知道的？通过求解可以得知。在这个例子中我们应该取什么为研究对象？研究对象的选取，应该要根据题意的要求，为使解题方便起见来
12、选取的。在这个例子中，题目要我们求的是m受到冲量I的作用以后，绳子恢复其原来的固有长度后两物体m和的速度，而绳子没有伸长时的长度就叫固有长度。只要m、的速度求出了，也就可以知道能否追上m。虽然题目要我们求的是m和的运动速度，但是，如果我们分别取m和为研究对象，应用质点力学来求解的话，必须要知道作用在m和上的所有力，而现在题意并没有告诉我们弹性绳子对m和的作用力，这条路显然是走不通的。如果我们取m、和弹性绳子组成的系统作为研究对象，此研究对象就是一个质点组，那么对此质点组来说，它所受的外力都是已知了。弹性力就属系统的内力，在应用质点组动量定理或动量守恒时就不必考虑这些内力，而根据题意告诉我们的条
13、件很明显是要用到动量定理和动量守恒定律的。因此在这个例子中，我们应取 +m+弹性绳子 作为研究系统。研究对象确定了，接下去第二步就是对研究对象进行受力分析和运动分析。根据题意给我们的条件，可知我们所研究的系统，除了m受到打击的这一瞬间要受到一冲量I作用之外，在水平方向再也没有受到其它外力的作用，而冲量是已知的、受力情况明确了。系统的运动过程又是怎样的呢？系统从受到一冲量作用到达绳子又重新恢复到原来固有长度时的整个过程中要经历两个不同的阶段。第一个阶段就是：m受到冲量作用的阶段，第二个阶段是在m受打击的过程结束后，绳子的长度要发生变化第二个阶段指的是绳子从原来的固有长度又变化到固有长度的阶段。因
14、为在第一阶段打击所经历的时间是很短的，可以认为在短暂的打击过程中m保持不动，打击过程一结束，m获得的速度我们就令它为V，此时认为m仍然是静止不动的，这样假设可以吗？当然是可以的。所以第一阶段绳子的长度并没有变化。在第二阶段里，由于m受打击的过程结束后，m就以初速度V向前运动，绳子就要被拉长，由于弹性绳子的拉长，m和都要受到弹性力的作用。其结果就会使得的速度由零逐渐增加，而m的速度却是逐渐减少的，当的速度增加到大于m的速度是，绳子就开始往回缩向恢复到原来的固有长度方向进行。第二个阶段就是系统所经历的从弹性绳子的固有长度再变化到固有长度的阶段。对研究系统的受力情况和所经历的过程都清楚了。那末我们根
15、据每个阶段的特点就可列出它们的相应方程，对第一阶段我们根据质点组的动量原理可列出它的一条运动方程为：m0 + mV 0 = I mV = I （1），在这里我们是取水平向右的方向为x轴的正方向，I和v都是正的。由于在第二个阶段系统在水平方向上没有受到外力作用，其实在垂直于平面的方向上受到外力之和也是等于零的，所以对第二个阶段完全可以应用动量守恒定律列出它的一条运动方程，为此我们令弹性绳子恢复到固有长度时，m的速度为V1, 的速度为v2，于是根据动量守恒定律，则有绳子恢复到固有长度时系统的总动量：（2）由此可见第一阶段和第二阶段并不是绝然无关的，而是由打击结束后的速度V联系起来的，方程中的速度V
16、、V1和V2都是未知量，三个未知量只有两条方程，显然是无法求解的，还得找出一条独立方程，方可求解。由前面的分析我们已知第二个阶段动量是守恒的。那么，第二阶段的机械能是否守恒呢？系统的动量守恒并不等于它的机械能就一定守恒，这一点我们在前面讲课的时候已经强调过的。在实际问题中，机械能是否守恒，必须根据守恒条件来判断。我们所研究的系统在受打击后的过程中没有受到外力作功，而内力是弹性力，系统的机械能是守恒的。虽然题意没有告诉我们与绳子弹性力相关的势能，但是由于绳子在m受打击后，绳子拉长又再恢复固有长度的这个过程中，弹性力所作的功等于零。所以在第二阶段的初末状态不存在弹性势能之差，所以对系统我们可以写出它的机械能守恒关系式为：（3）三个方程三个未知，当然就可以解出它们的
