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1、精品资源欢下载空间向量的直角坐标及其运算(1)教学目的：L掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体(正方体、长方体)的顶点坐标；2 .掌握空间向量坐标运算的规律；3 .会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4 .会用中点坐标公式解决有关问题.教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标的确定及运算.教学过程：一、复习引入：1 平面向量的坐标表示有且只有分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知, 一对实数x、y ,使得a = xi + yj把(x, y)叫做向量a的(直角)坐标，记作 a = (x, y)
2、其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐= (1,0)，jy = (0,1)，0 = (0,。).2 .平面向量的坐标运算若 a =(x1,y)，b =(x2,yz)，.a ( - x, - y)j则 a + b =(x +x2,y1 +yz), a b =(x1 一 x?,% y?),若 A(x1,y1)，B(x2,y2),则 AB = M x1，y2 y1) _ d d T3 . a / b (b =0)的充要条件是 xy2-x2y1=04平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 a=(x1,y1), b=(x2,y2)，试用a和b的坐标表示a b *设i是x轴上的单位向量，j是
3、y轴上的单位向量，那么 -14d.a =x1i +%j , b =x2i +y2j所以 a b=(xiy1j)(x2iy2j) = xxzi2xyzijx2yijyy2j2又= 1 , j j =1, i j = j i =0所以 a b = x1x2 . y1y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和5 .平面内两点间的距离公式(1)设 a=(x, y),则 |a = x2 + y2或| a|=x2 + y2 .（2 ）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x1,y1）、 （x2,y2）,那么|a|= V(xi -X2)2 +(y1 -y2)2 (平面内两点间白向距
4、离公式)6 .向量垂直的判定设 a = (x1,y1), b = (x2, y2)，则 a_Lb 仁 x1x2 + y1y2 =07 .两向量夹角的余弦（0 Wn ）cos = cos0= a b-=岫 +a2b21a11b |a12 a 2 ；b2 b24 3T8 .空间向量的基本定理：若a,b,。是空间的一个基底，p是空间任意一向量, T 4存在唯一白实数组 x, 丫2使p = xa+yb+zc.二、讲解新课：1 .空间直角坐标系： 4 （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1,这个基底叫单位正交基底，用i, j,k表示； 4 334（2）在空间选定一点 O和一个单位正交基底
5、i, j,k,以点O为原点，分别以i, j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空 3 4间直角坐标系Oxyz,点O叫原点，向量i,j,k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；（3）作空间直角坐标系 O xyz时，一般使/xOy =135 （或45：）, yOz =90；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个 坐标系为右手直角坐标系.规定立几中建立的坐标系为右手直 角坐标系.2.空间直角坐标系中的坐标：41*4如图给定空间直角坐
6、标系和向量a,设i,j,k为坐标向则存在唯一的有序实数组（4e2自），使量，寸 彳 彳a = a1i +a2 j +a3k ,皆.x有序实数组（a1,a2,a3）叫作向量a在空间直角坐标系 O -xyz中的坐标，记作 a =(a1,a2,a3).在空间直角坐标系 O-xyz中，对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组(x, y, z),Z +TOA有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标,记彳A(x, y, z) , x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.3.空间向量的直角坐标运算律:(1)若 a=(a1,a2,a3) , b = (b,b2,bs),则 a +b
7、=(a +b),a2 +b2,a3 +b3),a - b = (ai bi , a2 - b2 ,a3 bO ,Xa =(la1,Xa2,九a3)(九 w R),a b =a1bl +a2b2 +a3b3,ab：= a1 = , bi,a2 = , b2,a3 = b3( R)a _L bu a1bl +a2b2 +a3b3 =0 .(2)若 A(xi,yi,zi) , B(x2,y2,z2)，则 AB =(x2 -xi,y2 -yi,Z2 -zi).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标.4 ,模长公式：若 a =(现田2e3), b=(b,b2,
8、b3),则 | a | =222+ a2 +a3 , |b|=222bi +b2 +b3 .5.夹角公式：cos：.； b =堇Aalbi a2b2 a3b31a | |b |, a12 a2? a32 b b22 b326.两点间的距离公式:若 A(xi,yi,zi), B(x2,y2,z2),则 |AB尸VAB J(x2 -xi)2 (y2 -yi)2 . (z 一乙)2 ,或 dA,B = J(x2 xi)*(y2yi) *(z2 zi) zx三、讲解范例：例 1 .已知 a = (2, -3,5) , b = (3,1, 4),求 a + b ,t a4 b-:aTb*Ha一向量点的坐
9、标化 一向量的直角坐标运算*例2.求点A(2, 4, _1)关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点.例3.在正方体ABCDABiGDi中，E,F分别是BB,CD的中点，求证 QF _L平面ADE .四、课堂练习：1. 已知 ABCID-A1B1GD是棱长为 2的正方体，E、F分别是 BB和DC的中 立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标2. 已知 a=(2, - 3,5) , b=(3,1 , 4),求 a+ b, a-b, 8a, a?b.3. 在正方体要 ABCD-ABCD中，E、F分别为 BB、CD的中点，求证：DF,平面ADE本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定原点的坐标为(0,0,0) , x轴上的坐标为(x,0,0) , y轴上的坐标为(0,y,0) , z轴上的坐标为(0,0,z).要使一向量a= (x,y,z)与z轴垂直，只要z = 0即可.事实上，要使向量 a与哪一个坐标轴垂直，只要向量 a的相应坐标为0. 四、小结：1 .空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标;2 .掌握空间向量坐标运算的规律；3 .会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4 .会用中点坐标公式解决有关问题，5 .用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标 五、作业：
