《福建师范大学21秋《复变函数》在线作业三满分答案28》由会员分享,可在线阅读,更多相关《福建师范大学21秋《复变函数》在线作业三满分答案28(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学21秋复变函数在线作业三满分答案1. 试求具有y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程试求具有y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程y+y-y-y=02. 求n=1+(n+2)xn+3的和函数求n=1+(n+2)xn+3的和函数3. 零测度集的任何子集都是可测集。( )A.正确B.错误参考答案:B4. 设f(x)C2a,b,s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解设f(x)C2a,b,s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解设a=x0x1xn=b,s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解记(x)=
2、f(x)-s(x),则 (x)C2a,b,(xi)=0,i=0,1,n, (4.54) (x0)=0, (xn)=0, 且s(x)在每一个小区间上是常数于是 (4.55) 如果 (4.56) 则由(4.55)式有 现证明(4.56)式利用(4.54)式可得 =0$记(x)=f(x)-s(x),(x)=s(x)-sa(x),则 (4.57) 如果 (4.58) 则由(4.57)式得 现证明(4.58)式注意到 (x)C2a,b,(xi)=0,i=0,1,n, (x0)=(xn)=0, 以及(x)在每一个小区间上为常数,得 =0 5. 设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( )A.fn测度收
3、敛于|f|B.afn+bgn测度收敛于af+bgC.(fn)2测度收敛于f2D.fngn测度收敛于fg参考答案:AB6. 向量组1,2,k含有零向量,则该向量组必然线性相关 向量组1,2,k线性相关,则必然含有零向量?向量组1,2,k含有零向量,则该向量组必然线性相关向量组1,2,k线性相关,则必然含有零向量?例 设1=(1,2,4),2=(2,4,8),易知1,2线性相关,但1,2中不含零向量7. 设f&39;(x)是连续函数,则f&39;(x)dx=_设f(x)是连续函数,则f(x)dx=_f(x)+C8. 若f(x)dx=F(x)+C,则e-xf(e-x)dx=( ) AF(ex)+C
4、B-F(e-x)+C CF(e-x)+C D若f(x)dx=F(x)+C,则e-xf(e-x)dx=()AF(ex)+CB-F(e-x)+CCF(e-x)+CDBe-xf(e-x)dx=-f(e-x)d(e-x)=-F(e-x)+C9. 设f(x)在a,b上连续,且对一切不大于正整数N的非负整数n,都有abxnf(x)dx=0,试证f(x)在(a,b)内至少有N+1个设f(x)在a,b上连续,且对一切不大于正整数N的非负整数n,都有abxnf(x)dx=0,试证f(x)在(a,b)内至少有N+1个零点如果f(x)0,则结论显然成立 如果f(x)0,则可以证明,至少存在N+1个点x1,x2,xN
5、+1(a,b),x1x2xN+1,使得f(x)在xk(k=1,2,N+1)的左、右邻域内符号相反事实上,假设这样的点只有m个,mN,不妨设x(a,x1)时,f(x)0,x(x1,x2)时,f(x)0,依此类推令p(x)=(x1-x)(x2-x)(xm-x),则当x(a,b)时,f(x)p(x)0,且f(x)p(x)0,于是由f(x)p(x)的连续性知 abf(x)p(x)dx0 (1) 另一方面,由于p(x)是x的m次多项式,且mN,所以由题设条件得 abf(x)p(x)dx=0 但这与(1)式相矛盾,因此至少存在N+1个点x1,x2,xN+1属于(a,b),使得f(x)在xk(k=1,2,N
6、+1)的左、右邻域内符号相反故由f(x)的连续性知f(x0)=0 (k=1,2,N+1)于是f(x)在(a,b)内至少有N+1个零点 10. 一球形细胞的体积以16fm3/h(h:小时;m:微米)的速度增长,当它的半径为10m时,细胞半径增长的速度是多少?一球形细胞的体积以16fm3/h(h:小时;m:微米)的速度增长,当它的半径为10m时,细胞半径增长的速度是多少?11. 求下列函数的差分: (1)yxc(c为常数),求yx (2)yxx22x,求2yx (3)yxax(a0,a1),求2yx求下列函数的差分: (1)yxc(c为常数),求yx (2)yxx22x,求2yx (3)yxax(
7、a0,a1),求2yx (4)yxlogax(a0,a1),求2yx (5)yxsinax,求yx (6)yxx33,求3yx正确答案:12. 设F(x)f(-x),且f(x)有n阶导数,求F(n)(x); (2)设f(x)xe-x,求f(n)(x)设F(x)f(-x),且f(x)有n阶导数,求F(n)(x); (2)设f(x)xe-x,求f(n)(x)正确答案:解 (1)F(x)-f(-x) F(x)(1)2f(-x)F(k)(x)(-1)k fk(-x)rn F(k1)(x)(F(k)(x)(-1)kf(k)(-x)(-1)k+1fk+1(-x)rn由数学归纳法证明成立即F(n)(x)(-
8、1)nfn(-x)rn(2)f(x)e-x+e-x(-1)x(1x)e-x-(x1)e-xrn f(x)-e-xxe-xe-x(-1)2(x2)e-xrn f(x)(-1)3(x3)e-xrn f(k)(x)(-1)k(xk)e-xrn f(k1)(x)(-1)k(xk)e-x)(-1)ke-x+(xk)(-e-x)rn (-1)k+1(x(k+1)e-xrn由数学归纳法知f(n)(x)(-1)n(xn)e-x解(1)F(x)-f(-x)F(x)(1)2f(-x),F(k)(x)(-1)kfk(-x)F(k1)(x)(F(k)(x)(-1)kf(k)(-x)(-1)k+1fk+1(-x)由数学
9、归纳法证明成立,即F(n)(x)(-1)nfn(-x)(2)f(x)e-x+e-x(-1)x(1x)e-x-(x1)e-xf(x)-e-xxe-xe-x(-1)2(x2)e-xf(x)(-1)3(x3)e-xf(k)(x)(-1)k(xk)e-xf(k1)(x)(-1)k(xk)e-x)(-1)ke-x+(xk)(-e-x)(-1)k+1(x(k+1)e-x由数学归纳法知f(n)(x)(-1)n(xn)e-x13. 设生产某产品每天的固定成本为10 000元,可变成本与产品日产量x吨的立方成正比,已知日产量为20吨设生产某产品每天的固定成本为10 000元,可变成本与产品日产量x吨的立方成正比
10、,已知日产量为20吨时,总成本为10 320元,问:日产量为多少吨时,能使平均成本最低?并求最低平均成本(假定日产量最高产量为100吨)正确答案:设日产量为x吨rn由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10 000因为当x=20时C(20)=k(20)3+10 000=10 320rn解得比例系数k=004rn故C(x)=004x3+10 000x0100rn于是平均成本函数令rn解得唯一驻点x=50因为所以函数在x=50时取到极小值也是最小值rn故当日产量为50吨时可使平均成本最低最低平均成本设日产量为x吨,由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10000因为,当
11、x=20时,C(20)=k(20)3+10000=10320解得比例系数k=004,故C(x)=004x3+10000,x0,100于是,平均成本函数令解得唯一驻点x=50因为所以,函数在x=50时取到极小值,也是最小值,故当日产量为50吨时可使平均成本最低,最低平均成本14. 不能被5整除的数是A、115.0B、220.0C、323.0D、425.0不能被5整除的数是A、115.0B、220.0C、323.0D、425.0正确答案:C15. 设f(x)在(-1,1)内连续,在x=0处可导,且f(0)=0,f&39;(0)=1,求极限设f(x)在(-1,1)内连续,在x=0处可导,且f(0)=
12、0,f(0)=1,求极限416. 设A、B互不相容,P(A)=p,P(B)=q,则_设A、B互不相容,P(A)=p,P(B)=q,则_1-p-q17. 1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解:1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解:y=c1+2c2x,y=2c2,代入方程后得 $y=3c1e3x+4c2e4x,y=9c1e3x+16c2x4x,于是 左边=9c1e3x+16c2e4x-7(3c1e3x+4c2e4x)+12(c1e3x+c2e4x) =e3x(9c1-21c1+12c1)+e4x(16c2-28c2+12c2) =0=右边$于所给函数关系xy=c1ex+c2e-x两边对x求
13、导两次,得 xy+y=c1ex-c2e-x xy+2y=c1ex+c2e-x 注意到c1ex+c2e-x=xy,上面的第二个关系式便说明 xy+2y=xy 成立,即所给函数满足微分方程. 注意,此题亦可单独计算y,y,再代入微分方程中验证,但计算量较大$,y=4c1e2x+25c2e-5x,于是 =c1e2x(4+6-10)+c2e-5x(25-15-10)+2x =右边$于所给函数关系两边求导二次,有 解得,代入微分方程中: 18. 初等函数是否必定存在原函数?初等函数是否必定存在原函数?19. Z和L两人进行乒乓球决赛,规定谁连胜两场或总数先胜三场,谁就获得冠军请将本次决赛可能的比赛场次用根树来Z和L两人进行乒乓球决赛,规定谁连胜两场或总数先胜三场,谁就获得冠军请将本次决赛可能的比赛场次用根树来表示20.