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1、定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中， 就已经有了萌芽。比如古希腊时 期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓 形及其他图形的面积。公元 263年我国刘徽提出的割圆术，也是同 一思想。在历史上，积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱 布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果 还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展 起来。未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到 16世纪。此时的卡瓦 列利与他的in di
2、visibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N= 9 x N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。 牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿 和 莱布尼茨 的微积分基本定理。 定理演示了一个整合和分化之间的连接。这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。 由于名称的微积分，它允许 精确的分析在连续域的功能。这个框架最终成为现代微积分符号积 分是直接从莱布尼茨的工作。正式积分定积分概念的理论基础是极
3、限。人类得到比较明晰的极限概念，花了大约 2000年的时间。在牛 顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立 的微积分的理论基础还不十分牢靠， 有些概念还比较模糊，由此引起 了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论， 并引发了 “第二次数学 危机”。经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先 成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限 的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础 ，也才有了 我们今天在教材中所见到的微积分。现代教科书中有关定积分的定义 是由黎曼给出的。术语和符号艾萨克生顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个 盒子里
4、的变量， 竖线是很容易混淆。或牛顿用来指示分化和方 块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。1675年戈特弗里德莱布尼茨改编的积分符号,/,从字母S （“总结”或“总”）。此）竝Ja/符号表示的整合；A和B的下限和上限，分别一体化，定义域的融合；f是积，x在区间a , b上的变化进行评估；从历史上看，黎曼严格解释无穷小的早期努力失败后， 正式定义为积 分的加权求和的限制， 使有差别的限制（即间隔宽度）。 黎曼的间 隔和连续性的依赖的缺点促使了新的定尤其是勒贝格积分，这是 建立能力，延长了“措施”，以更灵活的方式的想法。因此，符号是指在分区函数值卩测量的重量被分配到每 个值，加权总和。
5、 在这里,A表示一体化的地 区。定积分既是一个基本概念，又是一种基本思想。定积分的思想即“化整为零-近似代替-积零为整-取极限”。定积 分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的 知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对 曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限 方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为 离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来。可以说，定积分最 重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式）， 即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲， 局部线性化等。定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上， 而且是科学思想史上的重要创举。
