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1、6.2等差数列及其前n项和2014高考会这样考1.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明；2.运用基本量法求解等差数列的基本量问题；3.考查等差数列的性质及综合应用复习备考要这样做1.准确理解概念，掌握等差数列的有关公式和性质；2.注意不同性质的适用条件和注意事项1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)
2、通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn，(A、B为常数)7等差数列的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若
3、a10，则Sn存在最_小_值难点正本疑点清源1等差数列的判断方法(1)定义法：anan1d (n2)；(2)等差中项法：2an1anan2.2等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(3)S2n1(2n1)an.3等差数列与函数在d0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.1(2012江西)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.答案35解析两个等差数列的和数列仍为等差数列设两等差数列组成的和数
4、列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735.2已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且xy，则的值为_答案解析a2a1(yx)，b2b1(yx)，.3已知等差数列an中，a3a822，a67，则a5_.答案15解析an为等差数列，a3a8a5a622，a522a622715.4(2011江西)设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析因为S10S11，所以a110.又因为a11a110d，所以a120.5(2012辽宁)在等差数列an中，已知a4a
5、816，则该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.题型一等差数列基本量的计算例1(2011福建)在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值思维启迪：等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.探究提高(1
6、)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范围解(1)由题意知S63，a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所
7、以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d2或d2.题型二等差数列的前n项和及综合应用例2(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和思维启迪：(1)由a120及S10S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解(2)利用等差
8、数列的性质，判断出数列从第几项开始变号解(1)方法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130，即当n12时，an0，n14时，an0，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13S121220130.方法二同方法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三同方法一求得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值且最大值为S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以数列
9、an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n6)，求数列的项数n.思维启迪：在等差数列中，若mnpq，则amanapaq，在涉及数列前n项和及某些项和的问题中常用到此性质解由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18.探究提高本题的解题关键是将等差数列性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程 (1)设数列an的首项a17，且满足an1an2 (nN)，则a1a2a17_.(2)等差数列an中，a1a2a324，a18a1
10、9a2078，则此数列前20项和等于_答案(1)153(2)180解析(1)an1an2，an为等差数列an7(n1)2，a17716225，S17153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S202020180.整体思想在等差数列解题中的应用典例：(12分)设等差数列an的前n项和Snm，前m项和Smn (mn)，求它的前mn项的和Smn.审题视角(1)Smna1(mn)d(mn)，这样只要求出a1d即可(2)由Sn，Sm可以构造出a1d，并求出规范解答解方法一设an的公差为d，则由Snm，Smn，得得(mn)a1dnm，mn，a1d1.Smn(mn)a1d(mn)(mn)方法二设SnAn2Bn (nN*)，则得A(m2n2)B(mn)nm.mn，A(mn)B1，A(mn)2B(mn)(mn)，Smn(mn)温馨提醒(1)本题的两种解法都突出了整体思想，其中方法一把a1d看成了一个整体，方法二把A(mn)B看成了一个整体，解起来都很方便(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征(3
