线性变换练习题

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1、线性变换习题一、填空题1. 设是的线性变换， 是的一组基，则在基下的矩阵为_，又则_。2. 设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间的线性变换：，则 ， 。 3. 设上三维列向量空间的线性变换在基下的矩阵是，则在基下的矩阵是 。4. 如果矩阵的特征值等于1，则行列式= 。5. 设A=，是P3上的线性变换，那么的零度= 。 6. 若，且，则的特征值为 。7. 在中，线性变换D()，则D在基下的矩阵为 。8. 在中，线性变换在基 下的矩阵是 。9. 设的三个特征值为，则+= ，= 。10. 数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为 维线性空间，它与 同构。11. 已知n阶方阵满足，

2、则的特征值为 。12. 已知3阶矩阵的特征值为1,2,3,则 。13. 设为数域上的线性空间的线性变换,若是单射,则= 。14. 设三阶方阵的特征值为1,2,-2,则= 。15. 在中，线性变换D()，则D在基下的矩阵为 。16. 已知线性变换在基下的矩阵为，则在基下的矩阵为 。17. 设上三维列向量空间的线性变换在基下的矩阵是，则 在基下的矩阵是 。18. 设线性变换在基的矩阵为，线性变换在基下的矩阵为，那么在基下的矩阵为 .19. 已知n阶方阵满足，则的特征值为 。20. 已知线性变换在基下的矩阵为，则在基下的矩阵为 。21. 在中，若向量组，线性相关，则 。22. 若线性变换在基下的矩阵

3、为，则在基下的矩阵为 矩阵为 。23. 若，且，则的特征值为 。二、选择题1. 下列哪种变换一定是向量空间的线性变换（ ）。A BC D2. 当阶矩阵适合条件（ ）时，它必相似于对角阵。A有个不同的特征向量 B是三角矩阵C有个不同的特征值 D是可逆矩阵3. 设是向量空间上的线性变换，且，则的所有特征值为（ ）。A2 B0，2 C0 D0，2，14. 设是3维向量空间上的变换，下列中是线性变换的是（ ）。A= B=C= D=5. 设是向量空间的线性相关的向量组，是的一个线性变换，则向量组在下的像（ ）。A线性无关 B线性相关 C线性相关性不确定 D全是零向量6. n 阶方阵A有 n 个不同的特征

4、值是A可以对角化的（ ）。A充要条件 B 充分而非必要条件 C必要而非充分条件 D 既非充分也非必要条件7. 设是向量空间的线性变换且，则的特征值（ ）。A只有1 B只有C有1和D有0和18. 如果方阵与对角阵相似，则=（ ）。A. B. C. D. 9. 设、为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则（ ）。A B与有相同的特征向量和特征值C与相似于同一个对角矩阵 D10. 设4级矩阵与相似，的特征值是1，2，3，4，则的行列式是（ ）。A-24 B10 C24 D不能确定11. 设是维线性空间的线性变换,那么下列说法错误的是（ ）。A.是单射 B.是满射 C.是双射 D.是双射是单位映射12.

5、设为3阶矩阵,且均不可逆,则错误的是（ ）。A.不相似于对角阵 B. 可逆 C. D. 13. 设为3阶矩阵,且其特征多项式为,则错误的是（ ）。A.相似于对角阵 B. 不可逆 C. D. 14. 维线性空间的线性变换可以对角化的充要条件是（ ）。A有个互不相同的特征向量 B有个互不相同的特征根C有个线性无关的特征向量 D. 不存在个互不相同的特征根15. 设是3维向量空间上的变换，下列中是线性变换的是（ ）。A= B=C= D=16. 设是向量空间上的线性变换，且，则的所有特征值为（ ）。A2 B-1，1 C0 D0，2，117. 维线性空间的线性变换可以对角化的充要条件是（ ）。A. 有个

6、互不相同的特征向量 B. 有个互不相同的特征根C. 有个线性无关的特征向量 D是可逆线性变换18. 2. 设矩阵A的每行元素之和均为1，则()一定是的特征值。A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第 一 页19. 设是3维向量空间上的变换，下列中是线性变换的是（ ）。A= B=C= D=20. 设，则下列各式成立的是（ ）。A. B.C. D.三、计算题1. 设表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而，是的一组基，线性变换满足，（1）求 在已知基下的矩阵；（2）设，求。2. 设是二维列向量空间的线性变换：设，定义。（1） 求值域的基与维数；（2）求核的基与维数。3.

7、设线性变换在基下的矩阵是（1） 求矩阵以及线性变换的特征值与特征向量；（2） 判断是否可以对角化（即线性变换是否在某组基下的矩阵为对角形），若不能对角化，说明理由；若可以对角化，求可逆阵，使为对角形。4. 令表示实数域上的三元列向量空间，令，若，作变换。（1） 证明为上的线性变换；（2）求及其维数；（3）求及其维数。5. 设矩阵，（1） 求的特征值和特征向量；（2） 求可逆矩阵，使为对角矩阵。6. 令表示实数域上的三元列向量空间，。（1） 若，证明为的一组基；（2） 求到的过渡矩阵；（3） 若，作变换，证明为上的线性变换；（4） 求及其维数； （5） 求及其维数。7. 设是的线性变换,。（1）

8、 求及其维数；（2）求及其维数。8. 设线性变换在基下的矩阵是。（1） 求矩阵以及线性变换的特征值与特征向量；（2） 判断是否可以对角化（即线性变换是否在某组基下的矩阵为对角形），若不能对角化，说明理由；若可以对角化，求可逆阵，使为对角形矩阵。9. 令表示实数域上的三元列向量空间，令，若，作变换。（1）证明为上的线性变换；（2）求及其维数；（3）求及其维数。10. 设为的基，且线性变换在此基下的矩阵为。（1）求的特征值与特征向量； （2）求可逆矩阵，使是对角矩阵。11. 设三维线性空间的线性变换在基下的矩阵为。（1）求的值域及其维数；（2）求的核及其维数。12. 设表示实数域上的次数小于3的多

9、项式，再添上零多项式构成的线性空间，而，是的一组基，线性变换满足，（1） 求在已知基下的矩阵；（2） 设，求。 13. 给定的两组基； 。定义线性变换：。（1） 写出由基到基的过渡矩阵； （2） 写出在基下的矩阵；（3） 写出在基下的矩阵。14. 设线性变换在基下的矩阵是,求可逆矩阵,使得为对角形矩阵。15. 设。（1）求的全部特征值； （2）求的属于每个特征值的特征向量；（3）求一个可逆矩阵，使为对角形。16. 设，且在的基下的矩阵= 。问(1) 是否可以对角化?(2) 若能对角化，求出的一个基，使在此基下的矩阵为对角矩阵。17. 设数域P上三维线性空间V的线性变换在基下的矩阵A。（1） 求

10、在基，下的矩阵；（2） 设，求在基下的坐标。四、证明题1. 设是数域上的维向量空间的线性变换，又是的一个基，证明。 2. 设，都是向量空间的线性变换，是，的不变子空间，证明也是的不变子空间。3. 设是数域上线性空间的线性变换且。证明：（1）的特征值为1或0； （2）； （3）。 4. 设是向量空间的两个子空间，是的一个线性变换，证明：若都是的不变子空间，则也是的不变子空间。5. 设是向量空间的一个线性变换，都是的不变子空间。证明：也是的不变子空间。6. 证明：线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。7. 设是数域上的维线性空间的线性变换,且（恒等变换）。（1） 证明:的特征值只能为1或-1；（2） 用分别表示的属于特征值1和的特征子空间,证明:。8. 设为数域上的维线性空间的线性变换。证明:。9. 设，且,.证明.其中为恒等变换。3