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1、九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理龙泉二中 范积慧1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习过程】学习准备：（1） 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （aw0）的判别式 = 0 =0 v 0（2） 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a w0）的两根分别为xi和X2x1+x2=,x1x2=解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论：1）若a、 c 异号2）有一个根为13） 有一个根为4）有一个根为05）有两个正根（7） 有一正根一负根9）两根互为
2、相反数ax2+bx+c=0a+b+c=0 ；1a b+c=0 ；c=00xi x20x1x20 0x1x20 0xi x2（a W0）必有两个不相等的实数根;6）有两个负根8）两根同号0 b00xi x2 00x1x2001 0x1x20x1 x20 c 0 0x1x2 0x1 x20 c 0 0(x1 a)(x2 a)0x1x20即时练习：K为何值时，方程 4x2(k1)x+k7=0的两个根具有下列关系：(1)两根互为相反数(2)两根互为倒数(3)有一根为0挖掘教材:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有实数根，即应首先满足0这一条件。例2、已知方程x2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平
3、方和为3,求k的值。 0解：由题意得:xix2k2(xi x2)2x1x23x1x2k22x1x23k1 , k2 当 K1=时，;当 K2=时，故K的值为归纳小结：二次项系数 aw0和4 0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。因此, 在做题时，应优先考虑这两点。即二次项系数与优先的原则。即时练习：若方程2x2-mx-4=0的两个实数根x1,x 2满足1+ L =2,求m的值。x1 x2例2、已知关于x的方程x2-(2k-3)+k 2+1=0的两个实数根x1、x2满足：x1x2 3,求k的值。解：,原方程有两个实数根，则40即-(2k-3) 2-4(k 2+1) 0 解之得：k2又 乂仅2
4、=卜+10,.x1 与 x2 同号；由：x1x23 可得：x1+x2=3即 2k-3= 3 ,解之得：k1=,k2=由可得：K=即时练习：已知方程x2-4x+6k=0两个实数根的平方差为8,求k的值。反思拓展：1、韦达定理：充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学 问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。2、应用韦达定理的前提条件是这个方程是一元二次方程且有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须首先满足二次项系数aw0和判别式4 0这两个条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。3、应用韦达定理求根的代数式的值，一般是关于Xl,X2的
5、对称式，这类问题可通过变形 X1+X2和X1X2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：（1）恰当组合（2）根据根的定义降次（3）构造对称式【达标检测】1、（广州）关于x的一元二次方程x2-x+a（1-a）=0有两个不相等的正根，则a可取的值为 （只要填写一个可能的值即可 ）2、（2005年.淮安）已知关于x的一元二次方程 x2+4x+a=0有两个实数根，且2x1-X2=7MU a=3、（2005年荆州）若“、3是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则a 2+3 a + 3的值为 4、在等腰三角形 ABC中，/ A、/B、/C的对边分别为 a、b、c,已知a=3,b和c是关于 x的方程
6、x2+mx+2- 1m=0的两个实数根，求 ABC的周长。25、（盐城）已知关于x的方程x2+2 （2-m） x+3-6m=0（1）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根。（2）如果方程的两实数根分别为x1、x2,满足x1=3x2,求实数m的值。6、（2005年.南通）已知关于 x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2,且（2x1+x2）2-8 （2x1+x2）+15=0 求证：（1） n0（2）试用 k 的代数式表示 x1（3）当n= - 3时，求k的值。7、（2005年.天津）已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1 ,另一个大于1,求实数p的取值范围。
