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1、第六章 特征值及其应用本章内容所涉及的矩阵若无特别说明均为阶复方阵6.1 特征值特征向量的一般知识是阶方阵，若存在复数以及维非零列向量，使，即，则称是的特征值，是的属于的特征向量由线性方程组的知识可知：是的特征值是的特征多项式的根特征多项式的性质：(1)相似矩阵有相同的特征多项式；(反之不然)(2)设是的特征多项式，则（Hamilton-Cayley定理）(3)设，则，其中是的所有阶主子式之和，即，(3)的证明：将和按列分块，利用行列式按列拆开的性质可得注：在(3)中，若是的全部根，则由根与系数的关系可得，于是，由此可见可逆的特征值均不为0特征值、特征向量的性质：设是阶方阵的特征值，是的属于的
2、特征向量(1)是的特征值，是的属于的特征向量(2) 可逆时，且是的特征值，是的属于的特征向量(3) 是的特征值，是的属于的特征向量(4)当可逆时，是的伴随矩阵的特征值，是的属于的特征向量；当不可逆时：若秩，的特征值只有，任意非零向量是他的特征向量；若秩，的特征值为和，其中至少是的重特征值(5)与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(6)若存在正整数，使，则的特征值只能为(7) 若存在正整数，使，则的特征值只能为和次单位根(8)若是的特征向量，则所属于的特征值为证明(1)由可得，设，则所以可见是的特征值，是的属于的特征向量(2)在两边左乘得，即，可见是的属于的特征向量(3)，所以是的属于的特征
3、向量(4)当可逆时，因为，而，即，亦即，可见是的属于的特征向量当秩时，所以对任意非零向量，有可见的特征值只有，任意非零向量是他的特征向量当秩时，秩，所以的若当标准形的秩为1，可知的若当标准形的主对角线上至少有个0，因此又：与上式比较得(5)(6)，但，即而，所以(7)由，得，所以而，所以，即，可见为和次单位根(8)设所属于的特征值为，则，两边同时左乘，得，所以例1阶实矩阵的主对角元全为，且其特征值全是非负数，证明：证明设的个特征值是，则又，例设阶实矩阵的特征值全是实数，并且的所有阶主子式之和、所有阶主子式之和全是，证明：证明有特征多项式性质(3)其中是的所有阶主子式之和结合已知有设的个特征值是
4、，由根与系数的关系，有，所以而全是实数，可得于是的若当标准形形如：，即存在可逆矩阵，使，所以（）例是阶实矩阵，如果对任意维实列向量，恒有，证明：注：当对称时，即为正定矩阵证明先证明：的任意一个特征值的实部大于设是的一个特征值，是属于的特征向量，则用和分别表示分量的实部和虚部系数构成的列向量，则（注：都是实列向量）于是，比较等号两端的实部和虚部得，用分别左乘上两式得，两式相加得由已知，又至少有一个不等于（），所以，从而有是实系数多项式，的特征值成对出现设为的特征值，则（）由于等于的特征值之乘积，而的实特征值全大于，每一对共轭的复特征值的乘积大于，故.2 特征多项式的降阶定理定理1设分别是和矩阵，
5、则证明设秩，则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使令（其中为矩阵），则，因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以，当时，由上两式得，显然当时，由上两式得，所以推论设分别是和矩阵，则与的非零特征值相同推论设是同阶方阵，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值和迹例是阶可逆矩阵，是维非零列向量，证明：的根是（重）和证明由行列式的乘法规则及特征多项式降阶定理，可见的根是（重）和在例中，取，则有有个特征根是0，另一个特征根是例如，则有个特征根是0，另一个特征根是例求阶矩阵的特征值及行列式解，其中，由以上讨论的根是（重）和于是的特征值中有个满足，另一个满足所以的特征值为和又对秩为的阶方阵，设是他的满秩分解，利用
6、特征多项式降阶定理可见一定是秩为的阶方阵（）的特征值，且其重数为（注：因为是秩为的阶方阵，故可逆，所以它的特征值均不为）例设是阶方阵，如果矩阵方程有解，则注：由此例可知，当的迹不为零时，无解证明因为有解，所以存在矩阵，使于是，有推论，所以特征多项式是一种特殊的行列式，有时也要借助行列式的性质进行计算例设是实数，求阶矩阵的特征值解，其中，但是的首项系数为，所以，而的根为，所以的特征值为，6.3 特征值的区域估计要求出一个阶方阵的特征值，一般来说是非常困难的，有时甚至是不可能的另一方面，在工程技术或理论研究的许多问题中，往往只要知道特征值的近似值，甚至只要知道特征值所在的区域（复平面上的区域）就足
7、够了因此，研究特征值的近似求法或估计特征值所在的区域就是非常有意义的工作了本节就对特征值所在区域的估计问题作简单介绍关于这个问题，最经典的结果要算盖尔许戈林（苏）的圆盘定理了，在介绍这一定理之前，先做一些准备工作一、对角占优矩阵对阶方阵，令，注： ()即的第行(列)中除主对角元之外的其它元素的绝对值之和如果，则称为行对角占优矩阵；如果，则称为严格行对角占优矩阵；如果，则称为列对角占优矩阵；如果，则称为严格列对角占优矩阵行对角占优矩阵和列对角占优矩阵统称为对角占优矩阵；严格行对角占优矩阵和严格列对角占优矩阵统称为严格对角占优矩阵定理严格对角占优矩阵必为非奇异的证明以严格行对角占优矩阵为例证明设为
8、严格行对角占优矩阵，如果为奇异的，则齐次线性方程组有非零解设，显然将代入的第个方程得由此得，从而推出，与定理条件矛盾二、特征值的区域估计定理（Gersgorin,1931）设，则的特征值都落在复平面上的个圆盘的并集上（称为由确定的盖氏圆盘）证明对的任一特征值，有，根据定理，一定不是严格对角占优矩阵，即必存在一个主对角元，使，这表明注意定理只说明的个特征值一定落在个圆盘的并集上，并不能保证每个圆盘都含有的特征值例如：矩阵的特征值为，他们都包含在圆盘上，而圆盘上则不含有的特征值值得注意的是，此例中的两个盖氏圆盘与是相交区域，因此构成了复平面上的一个连通区域于是自然会想到：如果的个盖氏圆盘的并集构成
9、复平面上的个互不相交的连通区域，是否每个连通区域都含有的特征值？下边的定理回答了这个问题定理(Gersgorin,1931) 设的个盖氏圆盘中有个圆盘构成了复平面上的一个连通区域，且的其余个圆盘与都不相交，则中有且仅有的个特征值证明令，其中 ，作参数矩阵，则当由变到时，由变到另外，的个盖氏圆盘为：，可见的个盖氏圆盘恰是的个盖氏圆盘的圆心对任意的（），的盖氏圆盘为，即：的每个盖氏圆盘都落在的一个相应的盖氏圆盘之内，且都以（）为圆心现在考虑的任一特征值，他显然是的连续函数，所以当由变到时，在复平面上由圆心出发画出一条连续曲线于是当由变到时，的个特征值在复平面上分别由各自的圆心出发画出条连续曲线，且
10、曲线的终点为的个特征值（参看下边的示意图） 下边证明：这条连续曲线的每一条，要么全落在上，要么全落在的其余个圆盘的并集上否则，这条曲线中必有一条既落在上，又落在其余个圆盘的并集上由于与这个圆盘的并集不相交，而连续，所以上必有一点（），它落在的个圆盘之外（参看下述示意图）但是是的特征值，由前面所述，他应落在的个圆盘的并集之上，从而落在的个圆盘之并集上，得矛盾根据以上证明的结果即得，由的个圆盘的圆心出发的连续曲线，当时，应全部落在上，所以上至少有的个特征值类似地可以证明，的其余个圆盘上至少含有的个特征值，总之个圆盘上恰有的个特征值推论如果阶方阵的个盖氏圆盘两两不相交，则每个圆盘上恰含的一个特征值，
11、从而有个不同的特征值推论如果阶实方阵的个盖氏圆盘两两不相交，则的特征值为实数证明因为的特征多项式是实系数多项式，所以的特征值要么是实数，要么是成对出现的共轭复数如果有一对共轭复数和是的特征值（），不妨设位于复平面的上半平面，则必位于下半平面，且与关于实轴对称由定理，必落在的某个盖氏圆盘上因为此圆盘的圆心是实数（是实矩阵），即圆心在实轴上，因此圆盘关于实轴对称，所以关于实轴的对称点也落在中但因为的个盖氏圆盘两两不相交，由推论，的每个圆盘上恰含的一个特征值，得矛盾注意：矩阵的特征值有可能落在其盖氏圆盘的边界上例如：矩阵的四个盖氏圆盘重合，均为，它是一个以为圆心，以为半径的圆易求得的四个特征值是，显
12、然他们都落在的盖氏圆盘的边界上有了以上讨论，我们可以从另一个角度来分析理解盖氏圆盘定理：在复平面上画出各盖氏圆盘的中心点，的任一个特征值与离它最近的中心点间的距离不超过，而且这个最大距离有时可以达到因而有理由认为，如果不改变圆盘中心点的取法，便不可能对盖氏圆盘定理做出实质上的改进这为此一问题的进一步研究指出了一条思路6.4 Hamilton-Cayley定理的应用Hamilton-Cayley定理在理论和计算方法上的作用从下述例子中可见一斑例设，其中是任意复数，是三次单位根，求及解的特征多项式为，由Hamilton-Cayley定理，得，所以，又例当阶方阵可逆时，证明：必可以表示成的次多项式证
13、明的特征多项式为其中由Hamilton-Cayley定理由此得，所以，可见是的次多项式（上式首相系数不为）例10 设，计算解的特征多项式为由Hamilton-Cayley定理，由带余除法，所以例11 设，证明：（），并求解的特征多项式为由Hamilton-Cayley定理，得可见当时，结论成立假设成立，则由归纳原理，等式成立反复利用，有例12 设，记，证明：如果非奇异，则阶矩阵也非奇异证明设的元的代数余子式为（这里），记由行列式按一列展开公式，有（），于是（）将上式用分块矩阵的乘积表达，即两边取行列式得，由此可见，若能证明非奇异，则非奇异令，由Hamilton-Cayley定理，由可得，所以（非奇异），即非奇异，从而非奇异应用Hamilton-Cayley定理可得下述求特征多项式的克雷洛夫（苏18631945）方法：对阶方阵，若存在维列向量，使非奇异，取则的特征多项式为以下是此结果的证明：设的特征多项式为由Hamilton-Cayley定理
