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1、三角形全等20个经典试题(图形变换)1.四边形ABCD是正方形(提示:正方形四边相等,四个角都是90)(1)如图1,点G是BC边上任意一点(不与点B、C重合),连接AG, 作BFAG于点F,DEAG于点E求证:ABFDAE;(2)直接写出(1)中,线段EF与AF、BF的等量关系 (3)如图2,若点G是CD边上任意一点(不与点C、D重合),连接AG,作BFAG于点F,DEAG于点E,则图中全等三角形是 _,线段EF与AF、BF的等量关系是 _如图3,若点G是CD延长线上任意一点,连接AG,作BFAG于点F,DEAG于点E,线段EF与AF、BF的等量关系是 _(4)若点G是BC延长线上任意一点,连
2、接AG,作BFAG于点F,DEAG于点E,请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系2小明、小敏两人一起做数学作业,小敏把题读到如图(1)所示,CDAB,BEAC时,还没把题读完,就说:“这题一定是求证B=C,也太容易了”她的证法是:由CDAB,BEAC,得ADC=AEB=90,公共角DAC=BAE,所以DACEAB由全等三角形的对应角相等得B=C小明说:“小敏你错了,你未弄清本题的条件和结论,即使有CDAB,BEAC,公共角DAC=BAE,你的推理也是错误的看我画的图(2),显然DAC与EAB是不全等的再说本题不是要证明B=C,而是要证明BE=CD”(1)根据小敏所读的题,判断“B=C”对吗
3、?她的推理对吗?若不对,请做出正确的推理(2)根据小明说的,要证明BE=CD,必然是小敏丢了题中条件,请你把小敏丢的条件找回来,并根据找出的条件,你做出判断BE=CD的正确推理(3)要判断三角形全等,从这个问题中你得到了什么启发?3请阅读下列材料:问题:如图1,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点B、C、E在同一条直线上,M是线段AF的中点,连接DM,MG探究线段DM与MG数量与位置有何关系小聪同学的思路是:延长DM交GF于H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系 (2)将图1中的正方形CE
4、FG绕点C顺时针旋转,使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2)你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明(3)如图3,将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,写出你的猜想4在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流原问题:如图1,已知ABC,ACB=90,ABC=45,分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE,且DA=DB,EB=EC,ADB=BEC=90,连接DE交AB于点F探究线段DF与EF的数量关系小慧同学的思路是:过点D作DGAB于G,构造全等三角形,通过推理使问
5、题得解小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是ABC=30,ADB=BEC=60小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;(2)如图2,若ABC=30,ADB=BEC=60,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明;(3)如图3,若ADB=BEC=2ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明。5阅读下列材料:问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,ABC=BEF=60,点A,B
6、,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC,探究PG与PC的位置关系小颖同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决请你参考小颖同学的思路,探究并解决下列问题:(1)请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系;(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2)你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明,6把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置:“在同一平面内将直角顶点叠合”(1)图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形,B、C
7、、D在同一条直线上,连接EC请找出图中的全等三角形(结论中不含未标识的字母),并说明理由;(2)图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形,A、C、D在同一条直线上,连接BD、连接EC并延长与BD交于点F请找出线段BD和EC的位置关系,并说明理由;(3)请你:画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形;写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系;上面第题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗?7如图1,在ABC中,ACB=90,AC=BC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E(1)写出图1中的一对全等三角形;写出图1中线段DE、AD、BE所具有的等量
8、关系;(不必说明理由)(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,请说明DE=AD-BE的理由;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE又具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系(不必说明理由)8如图,在RtABC和RtDEF中,ABC=90,AB=4,BC=6,DEF=90,DE=EF=4(1)移动DEF,使边DE与AB重合(如图1),再将DEF沿AB所在直线向左平移,使点F落在AC上(如图2),求BE的长;(2)将图2中的DEF绕点A顺时针旋转,使点F落在BC上,连接AF(如图3)请找出图中的全等三角形,并说明它们全等的理由(不再添加辅助线,不再标注其它字母)9复习“
9、全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如下图,已知在ABC中,AB=AC,P是ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使得QAP=BAC,连接BQ、CP,则BQ=CP”(1)小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图的分析,证明了ABQACP,从而证得BQ=CP请你帮小亮完成证明(2)之后,小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中的条件不变,“BQ=CP”仍然成立吗?若成立,请你就图给出证明若不成立,请说明理由10如图1,(1)ABC与ADE均是顶角为40的等腰三角形,BC、DE分别是底边求证:BD=CE(2)拓展探究如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,
10、点A、D、E在同一直线上,CM为DCE中DE边上的高,连接BE求AEB的度数;判断线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由11如图,ACB和DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE(1)如图1,若CAB=CBA=CDE=CED=50求证:AD=BE;求AEB的度数12如图,点A,B,C在同一直线上,ABD,BCE都是等边三角形(1)求证:AE=CD;(2)若M,N分别是AE,CD的中点,试判断BMN的形状,并证明你的结论13如图,点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰ACD和 BCE,CA=CD,CB=CE,ACD与BCE都
11、是锐角,且ACD=BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接CP(1)求证:ACEDCB;(2)请你判断ACM与DPM的形状有何关系并说明理由;(3)求证:APC=BPC。14如图,在等边ABC中,线段AM为BC边上的中线,动点D在直线AM上时,以CD为一边且在CD的下方作等边CDE,连结BE。(1) 延长BE交射线AM于点F,请把图形补充完整,并求BFM的度数(2) 当动点D在射线AM上,且在BC下方时,设直线BE与直线AM的交点为F,B的大小是否发生变化?若不变,请在备用图中画出图形,并直接写出BFM的度数,若变化,请写出变化规律。15如图,在ABC和DC
12、B中,AB = DC,AC = DB,AC与DB交于点M(1)求证:ABCDCB ;(2)过点C作CNBD,过点B作BNAC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论B CA DMN16如图,四边形ABCD是矩形,PBC和QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内求证:(1)PBA=PCQ=30;(2)PA=PQACBDPQ17数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证:AE=EF经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以在此基础上
13、,同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图318在四边形ABCD中,AB=BC,BF是ABC的平分线,AFDC,连接AC、CF,求证:CA是DCF的平分线。19如图,四边形ABCD是矩形,PBC和QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内求证:(1)PBA=PCQ=30;(2)P