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1、双曲线中一个性质的探究和应用72在双曲线3-冬=】中.有一个同学们耳熟能详的结论:由焦 a b点向渐近线引垂线垂线段的长度为A在长期的教学实践中，笔者发现，如果单纯的考查该结论的应用，学生能够很快 进行求解，但是如果题目出现“由焦点向渐近线引垂线 .”之类的条件，最后 问的不是求垂线段的长度，而是离心率，学生在处理这类问题上就有点力不从心 了。笔者曾经在课堂上让学生做这样的一道试题：工 V2【例1】如图(1),过双曲线-T-k=l的一个焦点尸作一条渐近a tr线的垂线,垂足为力,与另一条渐近线交于点若FB二2FA，则此双曲线的离心率为解由FB = IFA得/为线段中点由已知有直线皿的斜率为一彳
2、，方程为y = (X-c).联by =xQ ，得 尸违G_c)crc ahc因此中点昇的坐标为2a2c-b2c又点/在渐近线y = -x上，则曽C- 2ach 解得X = 3/,故 e=2.评析:上述解法中首先求出点的坐标，再结合中点公式求出点/的坐标最后利用点昇在渐近线歹=5上求出答案.该解法是部分较为优秀的同学提供的，虽然思路清晰，并且最后有计算出正确的 答案，但是纵观解题过程，计算量偏大，容易出错。对于本题，有些基础较为薄 弱的学生无法求解，不知道如何从题目条件中获取有用信息。 有些学生在计算到 一半的时候认为过于复杂，放弃计算。因此，对于本类试题，是否有更好的解法？ 笔者经过认真探究，
3、得到解决本类试题的一个性质。性质:如圏(2)所不,双曲线中，右焦点为行作 a b鬥P垂直于渐近线y = -x,垂足为E则点P在双曲线的右准(2 - 线上且尸的坐标为-+I f C )证明：由已知有直线M的斜率为唁方程为图F面，我们利用上述性质来求解例1图条渐近线引垂线垂足为巴若线段PF的中点在此双曲线上”f 2 卜 解:设线段PF的中点为儿根据上述性质有P，因c c此川的坐标为(T + r2 uh)y2 v2又点畀在双曲线各-冬=1上故通过上述两道试题可以看到，利用该结论来求解诸如“由焦点向一条渐近线引垂 线”的问题十分的简便快捷。如果不熟悉该结论，在计算求解上可能会相对复杂 一些。在渐近线牛
4、-上故有严二-?田产角得付二心 即 = 2高帚救字辭翹势気主为湖44阴由此可见，利用上述性质来求解本类试题，在计算量上明显降低，体现了多思少算的思维策略，效果良好。再看一道试题：【例2如图，已知双曲线二-怜的右焦点为厂由F向 b则此双曲线的离心率为有= * 解得 2/aZr=c2 即总=V2 . 評矽俘無题硏究会泊刑朱加弓述性质有丿a ab，因此B的坐标为2a2 -c2 2血又点B1 E&丿解:如图所示由77?尺i得A为线段FB中点.根据上单墫教授认为，同一个数学问题的不同解法可以有美丑之分， 简洁明快是一种数 学美。因此，在解题教学中教师要用心培养学生的灵性， 使他们能够在解题过程 中选择最恰当的技巧和方法灵活解题。 综合上述分析，笔者认为，该性质有助于 求解一类试题，值得我们仔细钻研和体会。
