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1、1. 1等腰三角形第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质1. 复习全等三角形的判定定理及相关性质；2. 理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何 问题.（重点，难点）一、情境导入探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分,再把它展开得到的 ABC有什么特点？二、合作探究探究点一：全等三角形的判定和性质类型一】全等三角形的判定D如图，已知/ 1 = 7 2,则不一定能使 ABDA ACD勺条件是（）A. BD= CDB. A吐 ACC. Z B=7 CD. 7 BAD=Z CAD解析：利用全等三角形判定定理 ASA SAS AAS对各个选项逐一分析即可
2、得出答案.A. vZ 1 = / 2, AD为公共边，若 BD= CD，则厶ABDA ACDSAS);B. vZ 1 = Z 2, AD为公共边，若AB= AC不符合全等三角形判定定理，不能判 定 ABDA ACD； C. vZ 1 = Z 2，AD 为公共边，若 Z B = Z C，则 ABDAACDAAS) ; D. v Z 1 = Z2，AD 为公共边，若 Z BAD= Z CAD，则 ABDAACDASA);故选 B.方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有： SSS SAS ASA AAS.要注 意AAA SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参 与，若有两边
3、一角对应相等时，角必须是两边的夹角.类型二】全等三角形的性质c112如图， ABCA CDA并且A吐CD那么下列结论错误的是A.Z 1 = Z 2 B. AC= CAC.Z D=Z B D . AC= BC解析：由厶ABCA CDA并且A吐CD AC和CA是公共边，可知Z1和Z 2, Z D和ZB是对应角.全等三角形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项 一定正确.AC和 BC不是对应边，不一定相等.vA ABCA CDA AB= CD /-Z 1和Z 2，Z D和Z B是对应角，./Z 1 = Z 2，Z D=Z B,/. AC和CA是对应边， 而不是BC，/. A、B C正确，错误的结论
4、是 D.故选D.方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对 应边、对应角是解决本题的关键.探究点二：等边对等角【类型一】运用“等边对等角”求角的度数如图,A吐 AC= AD 若Z BAD= 80，则Z BC=(A. 80B. 100C. 140D. 160解析：先根据已知和四边形的内角和为 360,可求/ B+Z BCOZ D的度 数，再根据等腰三角形的性质可得/ B=Z ACB Z AC4Z D,从而得到Z BCD勺值./ BA亠 80, AZ B+Z BCDhZ D= 280 . v A吐 AC= AD Z B=Z ACB Z AC亠 Z D,aZ BC圧 280 十
5、 2= 140,故选 C.方法总结：求角的度数时，在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和 定理；有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补；两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角 之和等于180 .【类型二】分类讨论思想在等腰三角形求角度中的运用D等腰三角形的一个角等于30,求它的顶角的度数.解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题 中没有明确30。角是顶角还是底角，因此要分类讨论.解：当底角是30时，顶角的度数为180 2X 30= 120顶角即为30 .因此等腰三角形的顶角的度数为 30或120.方法总结：已知的一个锐角
6、可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角;个钝角只能是等腰三角形的顶角.分类讨论是正确解答本题的关键.探究点三：三线合一【类型一】利用等腰三角形“三线合一”进行计算A如图，在厶ABC中,已知A吐AC, Z BAC和Z ACB的平分线相交于点Z AD(= 125 .求Z ACB和 Z BAC的度数.解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得 AE丄BC,再求出Z CDE然后根 据直角三角形两锐角互余求出Z DCE根据角平分线的定义求出Z ACB再根据 等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出Z BAC解：v AB= AC, AE平分Z BAC 二 AE丄 BC vZ AD(= 125 , aZ CD=
7、55 ,AZ DC= 90Z CD= 35 .又v CD 平分Z ACB aZ AC= 2Z DC= 70 .又 A吐 AC, / B=Z AC* 70,aZ BAC= 180-( / B+Z ACB = 40 .方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型： 一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合; 二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的 高与其他两线互相重合.116如图， ABC中，AB= AC D为AC上任意一点，延长BA至U E使得AE=AD，连接 DE,求证：DEL BC解析：作AF/ DE交BC于点F.利
8、用等边对等角及平行线的性质证明Z BAF=Z FAC在厶ABC中由“三线合一”得 AFL BC再结合AF/ DE可得出结论.证明：过点A作AF/ DE交BC于点F.AE= AD， /.Z E=Z ADE AF/ DE /Z E=Z BAF, Z FAC=Z ADE/Z BAF=Z FAC又 A吐 AC, / AFL BC AF/ DE / DELBC.方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条 件，这个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以是底边上的中线，也可以是 顶角的平分线解题时，一般要用到其中的两条线互相重合.三、板书设计1 全等三角形的判定和性质2 等腰三角形的性质
9、：等边对等角3 三线合一：在等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线中，只要 知道其中一个条件，就能得出另外的两个结论.本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学 生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的不足之处是少数学生对等腰 三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步 巩固和提高第2课时等边三角形的性质1 进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质；2 学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.（重点、难点）一、情境导入
10、我们欣赏下列两个建筑物（如图），图中的三角形是什么样的特殊三角形?这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？曲艾半坡博物馆二、合作探究探究点一：等腰三角形两底角的平分线（两腰上的高、中线）的相关性质O 如图，在 ABC中，A吐AQCDLAB于点D,BEAC于点E,求证：DE/ BC 证明：因为 A吐AQ 所以/ ABC=Z ACB又因为CDL AB于点D, BEX AC于 点 E，所以/ AEB=Z ADC= 90,所以/ ABE=Z ACD 所以/ ABC-/ ABE=Z ACB/ BEC=Z CDB-Z ACD 所以/ EBC= Z DCB 在厶 BEC 与厶 CDB 中，/ EBC=Z
11、DCB 所以BC= CB BECA CDB 所以 BD= CE 所以 AB- BD= AC- CE 即 AD= AE 所以Z ADE=Z AED又因为Z A是厶ADEHA ABC的顶角,所以Z ADE=Z ABC所以DE/ BC方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上 的高相等.探究点二：等边三角形的相关性质【类型一】利用等边三角形的性质求角度112如图， ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点,连接 BE, DE 若Z ABB 40, BE= DE,求Z CED的度数.解析：因为 ABC三个内角为60，Z ABB 40 求出Z EBC的度数，因为BE
12、= DE所以得到Z EBCBZ D,求出Z D的度数，利用外角性质即可求出Z CED 的度数.解： ABC是等边三角形，/ ABCBZ ACB 60,vZ ABB 40Z EBCBZ ABC-Z ABB 60- 40= 20 . v BE= DE ：Z D=Z EBCB 20Z CEBZ ACB-Z D= 40 .方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60,这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握.【类型二】利用等边三角形的性质证明线段相等如图：已知等边厶ABC中, D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且 CE= CD DML BC,垂足为 M，求证：BMB
13、EM解析：要证BMB EM由题意证厶BDMA EDMI卩可.1 1证明：连接BD 在等边厶ABC中，D是AC的中点，/ DBG咕 ABCX60 = 30,/ ACB= 60 . v CE- CD :丄 CDE-Z E. v/ Ad CDEZ E,/ E= 30, a/ DBG/ E= 30 . v DMLBC, /./ DM/ DM 90，在 DMB / dm / dme和厶 DMEK / DBM / E, DMA DMB a BM EM.DM DM方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形.类型三】 等边三角形的性质
14、与全等三角形的综合运用1 ABC为正三角形,B M C点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点,且BM CN BN与AM相交于Q点，求/ BQM勺度数.解析：先根据已知条件利用 SAS判定 ABM2A BCN再根据全等三角形的性质求得/ AQ/ ABC 60 .解： ABC为正三角形，/ ABC / C/ BAC 60 , AB= BC 在厶 AMBA吐 BC,和厶 BNC中 , v / ABC / C,AMBA BNCSAS）,BM CN / BAM / CBN / BQM / ABQ/ BAM / ABQh/ CB/ ABC 60 方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形 的性质探究三角形全等.三、板书设计1 等腰三角形两底角的平分线（两腰上的高、中线）的相关性质 等腰三角形两底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等.2 等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形.学习等边 三角形的定义、性质让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步 培养空间观念，锻炼思维能力.让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好 奇心，增强动手能力和创新意识.第3课时等腰三角形的判定与反证法1. 掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；（
