实际问题与二元一次方程组经典例题

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1、实际问题与二元一次方程组经典例题目标认知学习目标： 1能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题.再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系.体会代数方法的优越性3体会列方程组比列一元一次方程容易4进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题.解决问题的能力5掌握列方程组解应用题的一般步骤；重点： 1经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。2进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。难点：正确找出问题中的两个等量关系知识要点梳理知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把未知转化为已知的重要方法.它的关键是把已知量和未知量

2、联系起来.找出题目中的相等关系. 一般来说.有几个未知数就列出几个方程.所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种.它的特点是同向而行。这类问题比较直观.画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种.它的特点是相向而行。这类问题也比较直观.因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速

3、度水速船的逆水速度； 顺水速度逆水速度2水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行.解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题：工作效率工作时间=工作量.3商品销售利润问题：利润售价成本；利润成本进价利润率；标价成本；实际售价标价打折率；注意：商品利润售价成本中的右边为正时.是盈利；为负时.就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十4储蓄问题：基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与

4、本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。 基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息 年利率月利率12 。注意：免税利息=利息 5配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量增长后的量；原量减少后的量.7和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量.总量倍数倍量.8数字问题：解决这类问题.首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时.奇数可表示为2n+1.偶数可表示为2n等.有

5、关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9浓度问题：溶液质量浓度=溶质质量.10几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等.两人的年龄差是永远不会变的12优化方案问题：在解决问题时.常常需合理安排。需要从几种方案中.选择最佳方案.如网络的使用、到不同旅行社购票等.一般都要运用方程解答.得出最佳方案。注意：方案选择题的题目较长.有时方案不止一种.阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时.一般可分为以下六个步骤

6、：1审题:弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数:可直接设元.也可间接设元；3找出题目中的等量关系；4列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程.并组成方程组；5解所列的方程组.并检验解的正确性；6写出答案.要点诠释：解实际应用问题必须写答.而且在写答案前要根据应用题的实际意义.检查求得 的结果是否合理.不符合题意的解应该舍去；设、答两步.都要写清单位名称；一般来说.设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 解答步骤简记为：问题方程组解答列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系； 审题时.注意从文字.图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书

7、写.设未知数和写答案都要带单位.列 方程组与解方程组时.不要带单位；正确书写速度单位.避免与路程单位混淆； 在寻找等量关系时.应注意挖掘隐含的条件； 列方程组解应用题一定要注意检验。 经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决行程问题1甲、乙两地相距160千米.一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行.1小时20分相遇. 相遇后.拖拉机继续前进.汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回.在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时.汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意： 这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程. 有两个等量关系： 相向而行：汽车行驶小时的路程拖

8、拉机行驶小时的路程160千米; 同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程.解：设汽车的速度为每小时行千米.拖拉机的速度为每小时千米.根据题意.列方程组 解这个方程组.得:.答：汽车行驶了165千米.拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图.再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系.是行程问题的常用的解决策略。举一反三：变式1甲、乙两人相距36千米.相向而行.如果甲比乙先走2小时.那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时.那么他们在甲出发3小时后相遇.甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲、乙两人每小时分别行走千米、千米。根据题意可得：解得：答：甲每小时走6千米.

9、乙每小时走3.6千米。变式2两地相距280千米.一艘船在其间航行.顺流用14小时.逆流用20小时.求船在静水中的速度和水流速度。分析：船顺流速度静水中的速度水速船逆流速度静水中的速度水速 解：设船在静水中的速度为x千米/时.水速为y千米/时.则 .解得：答：船在静水中的速度为17千米/时.水速3千米/时。类型二：列二元一次方程组解决工程问题2一家商店要进行装修.若请甲、乙两个装修组同时施工.8天可以完成.需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天.再请乙组单独做12天可完成.需付两组费用共3480元.问：甲、乙两组工作一天.商店应各付多少元？已知甲组单独做需12天完成.乙组单独做需24天完

10、成.单独请哪组.商店所付费用最少？ 思路点拨：本题有两层含义.各自隐含两个等式.第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工.8天可以完成.需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天.再请乙组单独做12天可完成.需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元.乙组单独做一天商店应付y元.由第一层含义可得方程8x+y=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.解：设甲组单独做一天商店应付x元.乙组单独做一天商店应付y元.依题意得： 解得 答：甲组单独做一天商店应付300元.乙组单独做一天商店应付140元。 单独请甲组做.需付款300123600元.单独请乙组做.需

11、付款241403360元.故请乙组单独做费用最少。答：请乙组单独做费用最少。总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量.同一题目中时间单位必须统一.一般地.将工作总量设为1.也可设为a.需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。举一反三：变式小明家准备装修一套新住房.若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后.剩下的由乙公司来做.还需9周完成.需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成.从节约开支的角度考虑.小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：设甲、乙两公司每周完成总工程的和.由题意得：. 解得：所以甲、乙单独完成这项工程分别需要

12、10周、15周。设需要付甲、乙每周的工钱分别是万元.万元.根据题意得：.解得：故甲公司单独完成需工钱：万元；乙公司单独完成需工钱：万元。 答：甲公司单独完成需6万元.乙公司单独完成需4万元.故从节约的角度考虑.应选乙公司单独完成. 类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题3有甲、乙两件商品.甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后.甲商品的利润率为4%.乙商品的利润率为5%.共可获利44元.则两件商品的进价分别是多少元？ 思路点拨：做此题的关键要知道：利润进价利润率解：甲商品的进价为x元.乙商品的进价为y元.由题意得：.解得：答：两件商品的进价分别为600元和

13、400元。举一反三：变式12011XXXX李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜.共获利18000元.其中甲种蔬菜每亩获利2000元.乙种蔬菜每亩获利1500元.李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩.乙种蔬菜种植了亩.则：.解得答：李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩.乙种蔬菜种植了4亩变式2某商场用36万元购进A、B两种商品.销售完后共获利6万元.其进价和售价如下表：AB进价元/件12001000售价元/件13801200注：获利 = 售价 进价求该商场购进A、B两种商品各多少件；解：设购进A种商品件.B种商品件.根据题意得：化简得： 解得：答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件。类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用.现在以两种方式在银行共存了2000元钱.一种是年利率为2.25的教育储蓄.另一种是年利率为2.25的一年定期存款.一年后可取出2042.75元.问这两种储蓄各存了多少钱？利息所得税利息金额20%.教育储蓄没有利息所得税思路点拨： 设教育储蓄存了x元.一年定期存了y元.我们可以根据题意可列出表格： 解：设存一年教育储蓄的钱为x元.存一年定期