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1、极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。1. 运用极限的定义例：用极限定义证明 ：lim3x 21x 2xx24 x 4x 2则当 02 时,就有x 2 2x 2x 23x 2x 2由函数极限定义有 :x2 3x 2limx 2 x 22. 利用单调有界准则求极限预备知识：若数列an 收敛，则a为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n , 有an此方法的解题程序为：1、 直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an 单调有界；2、设 an 的极限存在，记为 ” manA 代入给定的表达式中，则该式变为A 的代数方程，解之即得该数列的极限。例：若序列 a
2、n 的项满足 41. a (a 0) 且 a. 12 an旦，(n 1,2,) ,试证 an 有极限并求此极限。解由 a1. a1a12a2、a12aa?a1a , a2a12a1a1用数学归纳法证明ak一 a需注意一 21a12 a k a2aka1a kak2akak-a . ak22又anan1anaaa0n1anw2an 为单调减函数且有下界。2a令其极限为A由 an 1ana有:analim a n ina n即A丄A旦2AA2 aA 、a(A 0)从而lim a n a .3. 利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系:x 0,sin x x,tan x x,arcs in x xa
3、rctan x x,n1 x 1 1x, ex1 - x, log a(1x)?xax 1 x In a,In an欢迎下载2_ 1J x 1 2 x, (1 x) 1 x, in(1 x) ? x,等价无穷小代换法设， ， 都是同一极限过程中的无穷小量，且有:I? ，?，lim r 存在，则 lim 也存在，且有 lim = lim2例 :求极限 lim 1 cosxx 0 2 ；2x sin x解 :sin x 2 x 2,2 (x 2)cosx2 21 cosx 22 (x )1lim 22x 0 x sin x x x2注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若
4、以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的阶数4 . 利用极限的四则运算法则极限的四则运算法则叙述如下：若 lim f (x) A lim g(x) BX X QX x 0 lim f (x) g(x) lim f(x) lim g(x) A Bx x ox x o(III)若 BM 0 贝II lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A Bf(x)lim f (x)limXxox xox x)x xg(x)Xing(X)?ox x o IIX 冷欢迎下载3( IV ) lim c f (x) c lim f (x) cAX xx
5、 X )( c 为常数 )上述性质对于X , X , X时也同样成立总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。2x 3x 5 lim例：求x 2 x 423x 5_ 2 23 2 5lim x 2x 4245、利用两个重要的极限sin x(B)lim (11) X(A) limxX1但我们经常使用的是它们的变形:(A)lim3!,( (x)0)(x)(B)lim(1 ire,( (x)例：求下列函数极限Xln cosax(1)、宀(2) 、limx 0 ln cosbx解： ( 1) 令 axu,则 X世于是u l n aln aln(1 u)又当 x0 时， uX
6、.a 1 limln ax 0xlim limu 0故有 :ln(1 u) limu 0ln(1 u)u 0uln(1 u)、原式In (1 (cosax1)limx 0 ln1 (cosbx 1)欢迎下载4lim In(1 (cosax 1) cosbx 1x 0 cosax 1 cosax 1 ln1 (cosbx 1)cosbx 1cosbx 1limx 0cosax 1a sin x22si n2x lim2fa .2/b、2b(2x)(訐x 02lim x 2 b2si n xsin xa 222(訐/b 、2（ 2x）6. 利用重要公式求极限或转化为函数的极限此方法必须在牢记重要极
7、限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。n 1dd例:limn 1. 1nsin.nn nn 1 1lim sin -nn.1 sin_ nlim1nn.1 sin_ n1limnn.1 sin n1limnne 1 1欢迎下载5例：求极限sin x x alimx a sina1limsin x x ax asin ai_ sin x sin a x a =lim 1x a-sin a1 sin a cosa小 x a? x a 2cosx a cosa sin asinlim 12 2sin acos asin asin a cosa2cosas in=lim 1sinasin actgax acosa (x a)2cosas in=lim 1sin a2x aectgasin7、利用无穷小量与无穷大量的关系。(I ) 若： lim f (x)1limf (x)(II)若:lim f (x)f(x)求下列极限lim11 -x1 x 1lim (x 5)故limx一x x
