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1、高 等 代 数教 案秦文钊一、章（节、目）授课计划 第 页授课章节名称第二章 1引言授课时数教学目的通过本节的学习，使学生了解行列式的背景教学要求要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则教学重点二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则教学难点二、三元线性方程组的计算公式教学方法与手段启发式 讲练相结合作业与思考题无阅读书目或参考资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学后记二、课时教学内容 第 页教 学 内 容小结解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有
2、重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组.一、对于二元线性方程组当时，此方程组有唯一解，即我们称为二级行列式，用符号表示为.于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有唯一解，即.二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组称代数式为三级行列式，用符号表示为：二、课时教学内容 第 页教 学 内 容小结.当三级行列式时，上述三元线性方程组有唯一解，解为其中 .三、元线性方程组是否也有类似的结论呢？为此，首先给出级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决这一问题，这是本章的主要内容.一、章（节、目）授课计划 第 页授课章节名称2排列授课时数教学目的
3、通过本节的学习，使学生掌握有关排列的相关知识教学要求要求学生掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。教学重点有关排列的基本概念、排列的奇偶性。教学难点排列逆序数的计算与奇偶性的确定教学方法与手段讲授法作业与思考题阅读书目或参考资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学后记二、课时教学内容 第 页教 学 内 容小结一、排列的定义定义1 由组成的一个有序数组称为一个级排列.级排列的总数是.显然也是一个级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自
4、然顺序.定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列的逆序数记为 例：排列53214的逆序数7定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。应该指出，我们同样可以考虑由任意个不同的自然数所组成的排列，一般也称为级排列。对这样一般的级排列，同样可以定义上面这些概念。二、排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换。显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了。由此得知，一个对换把全部级排列两两配对，使每
5、两个配成对的级排列在这个对换下互变。定理1 对换改变排列的奇偶性.这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.推论 在全部级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个.定理2 任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性. 结论：任意两个排列都可以经过一系列对换互变.一、章（节、目）授课计划 第 页授课章节名称3 n级行列式授课时数教学目的使学生掌握行列式的定义教学要求要求学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称教学重点一般行列式的定义、行与列的地位是对称的教学难点行列式的定义教学方法与手段讲授法 启发式作业与思考题阅读书目或参考
6、资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学后记二、课时教学内容 第 页教 学 内 容小结一、级行列式的概念在给出级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我们有 (1) (2)从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成 (3)其中是1，2，3的一个排列.可以看出
7、，当是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当是奇排列时带有负号. 定义4 级行列式 (4)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 (5) 的代数和，这里是的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当是偶排列时，(5)带有正号，当是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成二、课时教学内容 第 页教 学 内 容小结 (6) 这里表示对所有级排列求和.定义表明，为了计算级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.由定义看出，级行列式是由项组成的.例1 计算行列式.例2 计算上三角形行列式.
8、 (7) . (8) 这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数.二、课时教学内容 第 页教 学 内 容小结二、行列式的性质在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是可以任意写的，一般地，级行列式中的项可以写成, （11） 其中是两个级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于 (12) 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于
9、，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成. (15) 由此即得行列式的下列性质：性质1 行列互换，行列式不变.即. (16) 性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式一、章（节、目）授课计划 第 页授课章节名称4 n级行列式的性质授课时数教学目的通过本节学习，使学生能熟练掌握行列式性质的应用教学要求要求学生能熟练掌握行列式性质及其应用教学重点行列式的性质及其应用教学难点行列式性质的应用教学方法与手段讲授法 启发式作业与思考题阅读书目或参考资料1.张禾瑞
10、，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学后记二、课时教学内容 第 页教 学 内 容小结行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质来简化行列式的计算.在行列式的定义中，虽然每一项是个元素的乘积，但是由于这个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中个元素(譬如)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之，级行列式的项可以分成组，第一组的项都含有，第二组的项都含有等等.再分别把行的元素提出来，就有 (1) 其中代表那些含有的项在提出公因子之后的代数
11、和(至于究竟是哪一些项的和暂且不管，到6 再来讨论).从以上讨论可以知道，中不再含有第行的元素，也就是全与行列式中第行的元素无关.由此即得. 性质2 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式.令，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零.二、课时教学内容 第 页教 学 内 容小结性质3 .这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样.性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形.性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零.性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.例1 计算级行列式例2 计算行列式.由于上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算.例3 一个级行列式，假设它的元素满足 , (4) 证明，当为奇数时，此行列式为零.一、章（节、目）授课计划 第 页授课章节名称5行列式的计算授课时数教学目的通过本节学习，使学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应用教学要求通过本节学习，要求学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计
