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1、高图教育数学教研组卢老师专用圆知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径 的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 （也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹
2、是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr;外切（图2）有一个交点dRr;相交（图3）有两个交点Rrd R r ；内切（图4）有一个交点dRr ;内含（图5）无交点dRr ;、点与圆的位置关系图5图41、点在圆内dr2、点在圆上dr3、点在圆外dr三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离2、直线与圆相切3、直线与圆相交点C在圆内;点B在圆上;点A在圆外;五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3、（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2以上共4个定理，简称2推3定理:个即可推出其它3个结论，即：AB是直径 AB CD CEM AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在。中，AB / CD弧 AC 弧 BDDE 弧BC 弧BD 弧ACAB-1 -高图教育数学教研组卢老师专用六、圆心角定理即：在。中,圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论， 即： AOB DO
4、E; AB DE ;OC OF ;弧BA弧BD2 .四边形ABCD是内接四边形3 C BAD 180 B D 180DAE C九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：: AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在。中，. C、 D都是所对的圆周角 C D推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对
5、的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。中，.AB是直径或. C 90 C 90AB 是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，.OC OA OB， ABC是直角三角形或C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上 的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理： 圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：MN OA且MN过半径OA外端 MN是O O的切线(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理
6、及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相 等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：: PA、PB是的两条切线PA PBAPO平分 BPAH一、圆哥定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两 条线段的乘积相等。即：在。中，弦AB、CD相交于点P, PA PB PC PD(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半 是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在。中，直径AB CD ,D高图教育数学教研组卢老师专用 CE2 AE BE行：OD:BD:OB 1：T3：2
7、;-# -(2)正四边形 同理，四边形OE:AE:OA 1:1:的有关计算在Rt OAE(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比 例中项。即：在。中，.PA是切线，PB是割线PA2 PC PB(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积相等(如上图)。即：在。中，.PB、PE是割线 PC PB PD PE(3)正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，AB:OB:OA 1: 3:2.十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 的的公共弦。如图：QO2垂直平分AB。即：
8、:。1、o O2相交于A、B两点十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：l -n-R -180n R21(2)扇形面积公式：S -1R3602O1O2垂直平分 AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长：Rt 0102c 中，AB2 CO12 JO1O22 CO22 ;(2)外公切线长：C02是半径之差；内公切线长：C02是半径之和。十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形在O 0中4 ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进n :圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径S：扇形面积2、圆柱：(1)圆柱侧面展开图S表 S 2s底=2 rh 2 r2(2)圆柱
9、的体积：Vr2h(2)圆锥侧面展开图(1)S表 S侧 $底=Rr r 2l:扇形弧长图 23-12高图教育数学教研组 卢老师专用(2)圆锥的体积：V 1 r2h3十六、圆中常见的辅助线1) .作半径，利用同圆或等圆的半径相等.2) .作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距” 间的关系进行证明.3) .作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.4) .作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.5)、作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角.6) .遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角.7) .遇到切线，作过切点的半径，构造直角.8) .欲证直线为圆的切
10、线时，分两种情况： (1)若知道直线和圆有公共点时，常连结 公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.9) .遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.10) .遇到三角形的内心，常作： (1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶 与 八、11) .遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线.12) .遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.13) .求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一 条直角边.十七、圆中较特殊的辅助线1) .过圆外一点或圆上一点作圆的切线.2) .将割线、相交弦补充完
11、整.3) .作辅助圆.例1如图23-11 , CA为。的切线，切点为 A,点B在O。上，如果/ CAB= 55 ,那 么/AO射于()A. 35B. 90C. 110D. 120例2如果圆柱的底面半径为 4cm,母线长为5cm,那么侧面积等于()A.加uCb . 40 ji cm2c . 2口 cWD. Lw例3如图23-12 ,在半径为4的。中，AR CD是两条直径，M为OB的中点，延长 CM皮OO于E,且EMMC连结 OR DE求：EM的长.例4如图23-13, AB是。的直径，PB切。于点B, PA交。O于点C, PF分别交AR BC于E、D,交O。于F、G且BE、BD恰好是关于 x的方程+ +(其中m为实数)的两根.(1)求证：BE= BD;(2)若GE - 逆,求/ A的度数.
