初中数学角度计算中11个经典模型

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1、 初中数学角度计算中 11 个经典模型（56 页 word） 模型1 猪脚模型 图 1 图 2 【条件】如图 1 【结论】3=1+2 【证明】如图 2，过拐点作平行线 1=4，5=2 3=4+5=1+2 即3=1+2 例题1 如图，BCD70，ABDE，则与满足（ ） A+110 B+70 C70 D+90 【分析】过点 C作 CFAB，根据平行线的性质得到BCF，DCF，即可解答 【解析】如图，过点 C作 CFAB， ABDE，ABCFDE，BCF，DCF， BCD70，BCD =BCF+DCF+70，+70故选 B 【小结】考查平行线性质，正确作出辅助线，掌握平行线的性质进行推理证明是解题

2、关键. 变式1 在数学课本中， 有这样一道题： 已知： 如图 1，BCBEC 求证：/ABCD请补充下面证明过程： 证明：过点E，作/EF AB，如图 2 B _（_） BCBEC ，BEF_=BEC（已知） BCBEFFEC （_） _=_ /EF_（_） /EF AB /AB CD 【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程 【解析】证明：过点E，作/EF AB，如图 2， BBEF （两直线平行 内错角相等） ， BCBEC ，BEFFECBEC （已知） ， BCBEFFEC （等量代换） ， CFEC ， /EF DC（内错角相等 两直线平行） ， /EF AB， /AB CD

3、故答案为：BEF，两直线平行 内错角相等，FEC，等量代换，C，FEC，DC，内错角相等 两直线平行 【小结】 考本题考查了平行线的判定与性质， 解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用 变式2 请你探究：如图（1） ，木杆EB与FC平行，木杆的两端B、C用一橡皮筋连接 （1）在图（1）中，B与C有何关系？ （2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则A、B、C之间有何关系？ （3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则A、B、C之间有何关系？ （4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则A、B、C之间有何关系？ （5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则A、B、C之间有何关系？ （注：以上各问，只写

4、出探究结果，不用说明理由） 【分析】 （1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答； （2）过点 A作 ADBE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论； （3）同样过点 A作 ADBE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论； （4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论； （5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论 图 1 【解析】 （1）如图（1）EB与FC平行， B+C=180； 图 2 （2）如图（2） ，过点 A 作 ADBE，则 ADBECF（平行于同一条直线的两条直线平行） ， B=BAD，C=DAC， B+C=BA

5、D+DAC=BAC，即B+C=A； 图 3 （3）如图（3） ，过点 A作 ADBE，则 ADBECF， B+BAD=180，DAC+C=180， B+BAD+DAC+C=360，即B+A+C=360； 图 4 （4）如图（4） ，设 BE 与 AC 相交与 D， EB与FC平行，C=ADE， ADE=A+B，A+B=C； 图 5 （5）如图（5） ，设 CF与 AB 相交与 D， EB与FC平行，B=ADF， ADF=A+C，A+C=B 【小结】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键 变式3 如图,AB/EF,D=90,则,的大小关系是（ ）

6、 A B90 C90 D90 【分析】 通过作辅助线,过点C和点D作CG/AB,DH/AB,可得CG/DH/AB,根据AB/EF,可得 AB/EF/CG/DH,再根据平行线的性质即可得 +-=90,进而可得结论 【解析】如图,过点 C 和点 D作 CG/AB,DH/AB, CG/AB,DH/AB, CG/DH/AB, AB/EF, AB/EF/CG/DH, CG/AB, BCG=, GCD=BCD-BCG=-, CG/DH, CDH=GCD=-, HD/EF,HDE=, EDC=HDE+CDH=90, +-=90,=+90-故选：D 【小结】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的

7、性质 模型2 铅笔模型 图 1 图 2 【条件】如图 1 【结论】1+2+3=360 【证明】如图 2，过拐点作平行线 根据同旁内角互补得，1+4=180，2+5=180 又3=4+5 所以1+2+3=1+2+4+5=360 图 3 【推广】如图 3，1+2+3+n = 180(n-1)【即变异铅笔模型】 变式4 综合探究：已知/ /ABCD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG 图 1 图 2 （1）如图 1，若GMGN，求AMGCNG的度数； （2）如图 2，若点P是CD下方一点，MG平分BMP，ND平分GNP，已知40BMG，求MGNMPN的度数 【分析】

8、 （1）过G作/ /GHAB，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题； （2）过G作/ /GKAB，过点P作/ /PQAB，根据两直线平行，内错角相等性质解得40MGKBMG ，再根据角平分线性质，求得80BMP，最后再用平行线定理解题，证明QPNDNP ，进而计算MGNMPN的值即可 【解析】 （1）如图 1，过G作/ /GHAB， / /ABCD， / / /GHABCD AMGHGM ，CNGHGN MGNG 90MGNMGHNCHAMGCNG 图 1 （2）如图 2，过G作/ /GKAB，过点P作/ /PQAB设GND / /GKAB，/ABCD， / /GKCD KGNGND

9、， / /GKAB，40BMG， 40MGKBMG MG平分BMP，ND平分GNP， 40GMPBMG 80BMP， / /PQAB， 80MPQBMP ND平分CNP， DNPGND ， / /ABCD， / /PQCD，QPNDNP， 40MGN，80MPN， 4080120MGNMPN 图 2 【小结】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 变式5 如图 1，四边形MNBD为一张长方形纸片 （1）如图 2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAEAECECD、） ，则BAEAECECD_ （2）如图 3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BA

10、EAEFEFCFCD、） ，则BAEAEFEFCFCD_ （3）如图 4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAEAEFEFGFGCGCD、） ，则BAEAEFEFGFGCGCD_ （4） 根据前面探索出的规律， 将本题按照上述剪法剪n刀， 剪出1n个角， 那么这1n个角的和是_ 【分析】 （1）过点 E作 EHAB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于 180的 2倍； （2）分别过 E、F 分别作 AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于 180的三倍； （3）分别过 E、F、G 分别作 AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和

11、等于 180的三倍； （4）根据前三问个的剪法，剪 n 刀，剪出 n+1个角，那么这 n+1 个角的和是 180n度 【解析】 （1）过 E 作 EHAB（如图） 原四边形是长方形， ABCD， 又EHAB， CDEH（平行于同一条直线的两条直线互相平行） EHAB， A+1=180（两直线平行，同旁内角互补） CDEH， 2+C=180（两直线平行，同旁内角互补） A+1+2+C=360， 又1+2=AEC， BAE+AEC+ECD=360； （2）分别过 E、F 分别作 AB 的平行线，如图所示， 用上面的方法可得BAE+AEF+EFC+FCD=540； （3）分别过 E、F、G 分别作

12、AB 的平行线，如图所示， 用上面的方法可得BAE+AEF+EFG+FGC+GCD=720； （4）由此可得一般规律：剪 n刀，剪出 n+1 个角，那么这 n+1个角的和是 180n 度 【小结】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点 变式6 ABCD，点 P为直线 AB，CD所确定的平面内的一点 （1）如图 1，写出APC、A、C 之间的数量关系，并证明； （2）如图 2，写出APC、A、C 之间的数量关系，并证明； （3）如图 3，点 E 在射线 BA 上，过点 E 作 EFPC，作PEGPEF，点 G在直线 CD上，作

13、BEG 的平分线 EH交 PC于点 H，若APC30，PAB140，求PEH 的度数 【分析】 （1）首先过点 P 作 PQAB，结合题意得出 ABPQCD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得A+C+APC360； （2）作 PQAB，结合题意得出 ABPQCD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得APCAC； （3）由（2）知，APCPABPCD，先利用平行线性质得出BEFPQB110，然后进一步得出PEG12FEG，GEH12BEG， 最后根据PEHPEGGEH即可得出答案 【解析】 （1）A+C+APC360，证明如下： 如图 1 所示，过点 P 作 PQA

14、B， 图 1 A+APQ180， 又ABCD，PQCD，C+CPQ180， A+APQ+C+CPQ360，即A+C+APC360； （2）APCAC，证明如下： 如图 2 所示，过点P作PQAB， 图 2 AAPQ， ABCD， PQCD， CCPQ， APCAPQCPQ， APCAC； （3）由（2）知，APCPABPCD， APC30，PAB140， PCD110， ABCD， PQBPCD110， EFPC， BEFPQB110， PEGPEF， PEG12FEG， EH平分BEG， GEH12BEG， PEHPEGGEH 12FEG12BEG 12BEF 55 【点睛】 考查利用平行线

15、性质与角平分线性质求角度综合运用， 练掌握相关概念是解题关键. 模型3 双垂直模型 【条件】B=D=ACE=90. 【结论】BAC=DCE，ACB=CED. 【证明】B=D=ACE=90 BAC+ACB=90 又ECD+ACB=90 BAC=DCE 同理,ACB+DCE =90，且CED+DCE =90 ACB=CED，得证。 例题2 如图，在ABC 中，ACB90，F 是 AC 延长线上一点，FDAB，垂足为 D，FD 与 BC 相交于点 E，BED55求A 的度数 【分析】首先由 FDAB 于 D，根据直角三角形两锐角互余得出BED+B90，同理，由ACB90，得出A+B90，然后根据同角

16、的余角相等得出ABED55 【解析】FDAB 于 D， BED+B90， ACB90， A+B90， ABED55 【小结】本题主要考查了直角三角形的性质以及余角的性质，比较简单 变式7 如图，ABC 中，BC，FDBC，DEAB，AFD152，求A 的度数 【分析】利用外角性质可求得C，在ABC 中利用三角形内角和定理可求得A 【解析】DFBC，FDC90， AFD152，CAFDFDC1529062， BC，A180BC180626256 【小结】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角和为 180是解题的关键 变式8 如图，在ACB 中，ACB90，CDAB 于 D （1）求证：

17、ACDB； （2）若 AF 平分CAB 分别交 CD、BC 于 E、F，求证：CEFCFE 【分析】 （1）由于ACD 与B 都是BCD 的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出CFA90CAF，AED90DAE，根据角平分线定义得CAFDAE，由对顶角相等的性质，等量代换即可证明CEFCFE 【解析】证明： （1）ACB90，CDAB 于 D， ACD+BCD90，B+BCD90，ACDB； （2）在 RtAFC 中，CFA90CAF， 同理在 RtAED 中，AED90DAE 又AF 平分CAB，CAFDAE，AEDCFE， 又CEFAED，CEFCFE 【

18、小结】考查直角三角形性质， 三角形角平分线定义，对顶角的性质， 余角性质，难度适中 变式9 （1）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D，ACD 与B有什么关系？为什么？ （2）如图，在 RtABC 中，C90，D、E 分别在 AC，AB 上，且ADEB，判断ADE 的形状是什么？为什么？ （3）如图，在 RtABC 和 RtDBE 中，C90，E90，ABBD，点 C，B，E 在同一直线上，A 与D 有什么关系？为什么？ 【分析】 （1）根据直角三角形的性质得出ACD+AB+DCB90，再解答即可； （2）根据直角三角形的性质得出ADE+AA+B90，再解答即可； （3）

19、根据直角三角形的性质得出ABC+AABC+DBEDBE+D90，再解答即可 【解析】 （1）ACDB，理由如下： 在 RtABC 中，ACB90，CDAB， ACD+AB+DCB90， ACDB； （2）ADE 是直角三角形 在 RtABC 中，C90，D、E 分别在 AC，AB 上，且ADEB，A 为公共角， AEDACB90， ADE 是直角三角新； （3）A+D90 在 RtABC 和 RtDBE 中，C90，E90，ABBD， ABC+AABC+DBEDBE+D90， A+D90 【小结】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余 模型4 A 字模型 图 1 【

20、条件】图 1 中三种情况 【结论】1=2 【证明】略 图 2 【结论】1+2=3+4 【证明】根据内角和定理，1+2+A=3+4+A=180 1+2=3+4 图 3 【结论】1+2=180+A 【证明】1+2=（AED+A）+（ADE+A）=180+A 例题3 如图所示， ABC 中， C75， 若沿图中虚线截去C， 则1+2 等于多少度？ 【分析】根据三角形内角和定理求出A+B，根据多边形的内角和公式求出即可 【解析】A+B+C180， A+B180C， C75， A+B18075105， 1+2+A+B360， 1+2360（A+B） ， 1+2360105255 【小结】 本题考查了三角

21、形的内角和定理和多边形的内角和公式， 能熟记定理是解此题关键 变式10 如图，已知A40，求1+2+3+4 的度数 【分析】根据三角形的内角和定理分别求得1+2，3+4，就可求得最后结果 【解析】A40， 1+23+4180A140 1+2+3+4280 【小结】此题主要是三角形内角和定理的运用 变式11 我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图 1，DBC 与ECB 分别为ABC 的两个外角，试探究A 与DBC+ECB 之间存在怎样的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图 2

22、，在ABC 纸片中剪去CED，得到四边形 ABDE，1130，则2C ； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图 3，在ABC 中，BP、CP 分别平分外角DBC、ECB，P 与A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 【分析】 （1） 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出DBC+ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解； （2）根据（1）的结论整理计算即可得解； （3）表示出DBC+ECB，再根据角平分线的定义求出PBC+PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解； 【解析】 （1）DBC+ECB180ABC+180ACB360（ABC+ACB） 360（

23、180A）180+A； （2）1+2180+C，130+2180+C，2C50； （3）DBC+ECB180+A，BP、CP 分别平分外角DBC、ECB， PBC+PCB（DBC+ECB）（180+A） 在PBC 中，P180（180+A）90A；即P90A； 【小结】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， 三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键 变式12 （1）如图 1，ABC 为直角三角形，A90，若沿图中虚线剪去A，则1+2 等于 A.90 B.135 C.270 D.315 （2）如图 2，已知ABC 中，A50，剪去A 后成四边

24、形，则1+2 （3） 如图 2， 根据（1）与 （2）的求解过程，请你归纳猜想1+2 与A 的关系是 （4）如图 3，若A 没有剪掉，而是把它折成如图 3 形状，试探究1+2 与A 的关系并说明理由 【分析】 （1）利用了四边形内角和为 360和直角三角形的性质求解； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1） （2）可以直接写出结果； （4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解 【解析】 （1）四边形的内角和为 360，直角三角形中两个锐角和为 90 1+2360（A+B）360902701+2 等于 270故选 C； （2）1+2180+502

25、30 （3）1+2 与A 的关系是：1+2180+A； （4）EFP 是由EFA 折叠得到的，AFEPFE，AEFPEF 11802AFE，21802AEF 1+23602（AFE+AEF） 又AFE+AEF180A， 1+23602（180A）2A，即1+22A 【小结】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系 （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和 （2）三角形的内角和是 180 度求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180”这一隐含的条件 模型5 双内角平分线模型 【条件】BP、CP 分别为ABC、ACB 的角平分线. 【结论】P=90+21A. 【证明】BP 是ABC 平分线，

26、12 CP 是ACB 平分线，34 2+3+P=180，A+B+C=A+22+23=180 2+3+P=A+22+23 P=A+2+3=A+（180-P） P=A+（180-P） P=90+21A. 例题4 如图，ABC 中， （1）若B70，点 P 是ABC 的BAC 和ACB 的平分线的交点，求APC 的度数 （2）如果把（1）中B70这个条件去掉，试探索APC 和B 之间有怎样的数量关系 【分析】 （1）依据点 P 是ABC 的BAC 和ACB 的平分线的交点，即可得到PACBAC，PCABCA，再根据三角形内角和定理，即可得到APC 的度数 （2）依据点 P 是ABC 的BAC 和AC

27、B 的平分线的交点，即可得到PACBAC，PCABCA，进而得出PAC+PCA （PAC+PCA） ，再根据P180（PAC+PCA）进行计算即可 【解析】 （1）B70，BAC+BCA110， 点P是ABC的BAC和ACB的平分线的交点， PACBAC， PCABCA， PAC+PCA（PAC+PCA）11055，P18055125； （2）点 P 是ABC 的BAC 和ACB 的平分线的交点， PACBAC，PCABCA，PAC+PCA（PAC+PCA） ， P180（PAC+PCA）180（BAC+BCA）180（180B） 90+B 【小结】 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线

28、的定义， 解决问题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是 180 变式13 如图，在ABC 中，ABC 与ACB 的平分线交于点 O （1）如图 1，已知ABC40，ACB60，求BOC 的度数 （2）如图 2，已知A90，求BOC 的度数 （3）如图 1，设Am，求BOC 的度数 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可； 【解析】 （1）BC 平分ABC，ABC40， OBCABC20， CO 平分ACB，ACB60， OCBACB30， BOC1802030130 （2）A90， ABC+ACB1809090， 又OBCABC，OCBACB， OBC+OCB45， B

29、OC18045135 （3）Am ABC+ACB180m， 又OBCABC，OCBACB， OBC+OCB90m， BOC90+m 【小结】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 变式14 已知在ABC 中，A100，点 D 在ABC 的内部连接 BD，CD，且ABDCBD，ACDBCD （1）如图 1，求BDC 的度数； （2）如图 2，延长 BD 交 AC 于点 E，延长 CD 交 AB 于点 F，若AEDAFD12，求ACF 的度数 【分析】 （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到BDC 的度数； （2）设A

30、CF，则BCD，CBD40ABD，依据三角形外角性质，即可得到AEDACF+CDF，AFDABE+BDF，再根据AEDAFD12，即可得到 的值 【解析】 （1）A100， ABC+ACB80， 又ABDCBD，ACDBCD， CBDABC，BCDACB， CBD+BCD（ABC+ACB）40， BDC18040140； （2）设ACF，则BCD， BDC140， CBD40ABD， AED 是DCE 的外角，AFD 是BDF 的外角， AEDACF+CDF，AFDABE+BDF， AEDAFDACF+CDFABEBDE（40）12， 解得 26，ACF26 【小结】本题主要考查了三角形内角和

31、定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和是 180 变式15 已知任意一个三角形的三个内角的和是 180如图 1，在ABC 中，ABC 的角平分线 BO 与ACB 的角平分线 CO 的交点为 O （1）若A70，求BOC 的度数； （2）若Aa，求BOC 的度数； （3）如图 2，若 BO、CO 分别是ABC、ACB 的三等分线，也就是OBC=31ABC，OCB=31ACB，Aa，求BOC 的度数 【分析】（1） 根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB， 根据角平分线的定义求出OBC+OCB，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB，根据角

32、平分线的定义求出OBC+OCB，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB，求出OBC+OCB，根据三角形内角和定理求出即可 【解析】 （1）A70， ABC+ACB180A110， 在ABC 中，ABC 的角平分线 BO 与ACB 的角平分线 CO 的交点为 O， OBCABC，OCBACB， OBC+OCB（ABC+ACB）55， BOC180（OBC+OCB）125； （2）A， ABC+ACB180A180， 在ABC 中，ABC 的角平分线 BO 与ACB 的角平分线 CO 的交点为 O， OBCABC，OCBACB， OBC+OCB（ABC+AC

33、B）（180）90， BOC180（OBC+OCB）180（90）90+； （3）A， ABC+ACB180A180， OBCABC，OCBACB， OBC+OCB（ABC+ACB）（180）60， BOC180（OBC+OCB）180（60）120+ 【小结】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，能求出OBC+OCB 是解此题的关键，求解过程类似 模型6 内外角平分线模型 【条件】BP、CP 分别为ABC、ACE 的角平分线 【结论】P=21A 【证明】BP 是ABC 平分线，134=2ABC CP 是ACE 平分线，112=2ACE 由ABC 外角定理可知：ACE=ABC+A 即：

34、21=23+A 对式两边同时除以 2，得：1=3+21A 又在BPC 中由外角定理可知：1=3+P 比较式子可知：P=21A 例题5 如图，ABC 中，ABC 与ACB 的外角的平分线相交于点 E （1）已知A60，求E 的度数； （2）直接写出A 与E 的数量关系： 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到ECDACD，EBCABC，根据三角形的外角的性质计算； （2）仿照（1）的计算过程证明 【解析】 （1）CE、BE 分别平分ACD、ABC， ECDACD，EBCABC， EECDEBD（ACDABC）A30； （2）由（1）得，EA， A2E 【小结】本题考查的是角平分线的定义，三角形的

35、外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键 变式16 如图，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 平分线 BP 交于点 P，若BPC40，求CAB 的度数 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACDBAC+ABC，PCDP+PCB，根据角平分线的定义可得PCDACD，PBCABC，然后整理得到PCD40+ABC，再代入数据计算即可得解 【解析】在ABC 中，ACDBAC+ABC， 在PBC 中，PCDBPC+PBC， PB、PC 分别是ABC 和ACD 的平分线， PCDACD，PBCABC， PCDBPC+PBC40+ABC

36、， ACDABC+40， ACDABC80， BACACDABC80， 即CAB80 【小结】 本题考查了三角形内角和定理， 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并求出PCD40+ABC 是解题的关键 变式17 如图所示，已知 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 外角ACE 的平分线，且与 BD 交于点 D； （1）若ABC60，DCE70，则D ； （2）若ABC70，A80，则D ； （3）当ABC 和ACB 在变化，而A 始终保持不变，则D 是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含A 的式子表示D） 【分析】 （1）根据三角

37、形内角和定理和三角形外角的性质即可求得； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得； （3）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出D、A 的等式，推出DA，即可求得结论 【解析】 （1）BD 为ABC 的角平分线，ABC60， DBC30， DCE70， DDCEDBC703040； （2）ABC70，A80， ACE150 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 外角ACE 的平分线， DBCABC35，DCEACE75， DDCEDBC753540； （3）不变化， 理由：DCEDBC+D， DACEABC（A+ABC）ABCA 【小结】 此题考查三角形内角和定理以及

38、三角形外角的性质的综合运用， 解此题的关键是求出DA 变式18 如图，已知 BD 是ABC 的角平分线，CD 是ABC 的外角ACE 的外角平分线，CD 与 BD 交于点 D （1）若A50，则D ； （2）若A80，则D ； （3）若A130，则D ； （4）若D36，则A ； （5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性 【分析】先根据角平分线定义得到ACE22，ABC21，再根据三角形外角性质得ACEABC+A，则 2221+A，接着再根据三角形外角性质得21+D，易得A2D，即DA，然后利用此结论分别解决（1） 、 （2） 、 （3） （4） （5） 【解析】如图，BD 是A

39、BC 的角平分线，CD 是ABC 的外角ACE 的平分线， ACE22，ABC21， ACEABC+A， 2221+A， 而21+D， 2221+2D， A2D，即DA， （1）当若A50，则D25； （2）若A80，则D40； （3）若A130，则D65 （4）若D36，则A72， （5）综上所述，DA； 【小结】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 180主要用在求三角形中角的度数：直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角也考查了三角形外角性质 模型7 双外角平分线模型 【条件】BP、CP 分别为EBC

40、、BCF 的角平分线. 【结论】P=90-21A. 【证明】BP、CP 分别为EBC、BCF 的角平分线. 2=3，5=6 P=180-2-5=180-21EBC-21BCF =180-21（180-1）-21（180-4） =21（1+4） =21（180-A） =90-21A 例题6 如图，ABC 中，分别延长ABC 的边 AB、AC 到 D、E，CBD 与BCE 的平分线相交于点 P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： （1）若A60，则P ； （2）若A40，则P ； （3） 若A100， 则P ； （4） 请用数学表达式归纳A 与P 的关系 【分析】 （1）若A60，则有ABC

41、+ACB120，DBC+BCE360120240，根据角平分线定义求得PBC+PCB 度数， 再利用三角形内角和定理即可求得P 的度数 （2） （3）和（1）的解题步骤相似 （4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出BCP（A+ABC） ，CBP（A+ACB） ；再利用三角形内角和定理便可求出A 与P 的关系 【解析】 （1）A60， ABC+ACB18060120，DBC+BCE360120240， 又CBD 与BCE 的平分线相交于点 P，PBCDBC，PCBBCE， PBC+PCB（DBC+ECB）120，P60 （2）70； （3）40 （4）P90A理由如下： BP 平分DBC

42、，CP 平分BCE，DBC2CBP，BCE2BCP 又DBCA+ACBBCEA+ABC， 2CBPA+ACB，2BCPA+ABC， 2CBP+2BCPA+ACB+A+ABC180+A，CBP+BCP90+A 又CBP+BCP+P180，P90A 【小结】 本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键 变式19 BD、 CD 分别是ABC 两个外角CBE、 BCF 平分线， 求证BDC9021A 【分析】先根据 BD、CD 分别是CBE、BCF 的平分线可知DBCEBC，BCDBCF，再由CBE、BCF 是ABC 的两个外角得出

43、CBE+BCF360（180A）180+A，故DBC+BCD （EBC+BCF） （180+A）90+A，根据在DBC 中BDC180（DBC+BCD）即可得出结论 【解析】证明：BD、CD 分别是CBE、BCF 的平分线 DBCEBC，BCDBCF， CBE、BCF 是ABC 的两个外角 CBE+BCF360（180A）180+A DBC+BCD（EBC+BCF）（180+A）90+A， 在DBC 中，BDC180（DBC+BCD）180（90+A）90A 【小结】考查三角形内角和定理及外角性质，熟知三角形内角和等于 180是解题关键 变式20 如图，BI，CI 分别平分ABC 的外角DBC

44、 和ECB， （1）若ABC40，ACB36，求BIC 的大小； （2）若A96，试求BIC； （3）根据前面问题的求解，请归纳BIC 和A 的数量关系并进行证明 【分析】 （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，求出IBC+ICB 的值，即可解决问题 （2）先根据A96，得出1+284，再运用（1）中的方法即可解决问题 （3）证明思路方法即（2）中的方法 【解析】 （1）如图所示，ABC40，ACB36， DBC140，ECB144， 又BI，CI 分别平分ABC 的外角DBC 和ECB， 3DBC70，4ECB72， BCI 中，I180707238； （2）A96，1+284，DB

45、C+ECB276， 又BI，CI 分别平分ABC 的外角DBC 和ECB， 3+4（DBC+ECB）276138， BCI 中，I18013842； （3）BIC90A 证明：ABC 中，1+2180A， DBC+ECB360（180A）180+A， 又BI，CI 分别平分ABC 的外角DBC 和ECB， 3+4（DBC+ECB）（180+A）90+A， BCI 中，I180（3+4）180（90+A）90A 【小结】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义的运用； 解题的关键是灵活运用三角形内角和为 180 变式21 如图，在ABC 中，BD，CD 是内角平分线，BP，CP 是ABC

46、，ACB 的外角平分线，分别交于点 D，P （1）若A30，求BDC，BPC 的度数 （2）若Am，求BDC，BPC 的度数（直接写出结果，不必说明理由） （3）想一想，A 的大小变化，对D+P 的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值 【分析】 （1）通过角的平行线的定义以及三角形的内角和可得出CBD+BCD75，再利用三角形的内角和为 180即可得出BDC 的度数，同理可求出BPC 的度数； （2）根据（1）的求角过程将 30 换成 m，即可得出结论； （3）由（2）的结论，将两角相加即可得出结论 【解析】 （1）BD，CD 是内角平分线， CBD+BCD（ABC+AC

47、B） ， A+ABC+ACB180，A30， ABC+ACB150，CBD+BCD75 又BDC+CBD+BCD180，BDC105 CBE+BCF360（ABC+ACB）210，BP，CP 是ABC，ACB 外角平分线 CBP+BCP（CBE+BCF）105， BPC+CBP+BCP180，BPC75 （2）根据（1）的求角过程可知：BDC90+，BPC90 （3）D+P90+90180为定值， A 的大小变化，对D+P 的值无影响 【小结】本题考查了三角形外角性质、三角形内角和定义以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理是关键 模型8 共定点角平分线和高线模型 【条件】AB

48、C 中，AH 是高、AD 是BAC 的角平分线 【结论】HAD=21（B-C） ，即共顶点高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半 【证明】AD 是ABC 平分线，BACDAC21 在HAD 中： HAD=90-1=90-(C+DAC） =90-(C+BAC21) =90- C+)180(21CB =21（B-C） 例题7 如图，在ABC中，AD、AE分别是ABC的高和角平分线，50B，60C，则DAE _度 【分析】先根据三角形的内角和定理得到BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出EAC=12BAC，而DAC=90-C，然后利用DAE=EAC-DAC 进行计算即可 【解析】在 ABC 中，B

49、=50，C=60，BAC=180-B-C=180-50-60=70， AE 是ABC的角平分线，EAC=12BAC=1270=35， AD是 ABC的高，ADC=90 在 ADC 中，DAC=180-ADC-C=180-90-60=30， DAE=EAC-DAC=35-30=5 【小结】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是 180是解答此题的关键 变式22 如图所示，在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，50BAC，70C，求DAC、BOA的度数. 【分析】由 AD是高易得DAC与C互余，即可求出DAC，由三角形内角和定理求出ABC， 再根据角平分线的定义求

50、出ABO与BAO， 最后根据三角形内角和定理即可求出BOA的度数. 【解析】AD是ABC的高，90ADC 在ADC中，90907020DACC 在ABC中，180180507060ABCBACC AE、BF是角平分线， 11603022 ABOABC 11502522BAOBAC 在ABC中，1801803025125BOAABOBAO 【小结】本题考查了三角形中的角度计算， 熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键. 变式23 在 ABC中，AD是 BC边上的高，AE 是BAC的平分线，EAD=15，B=40 （1）求C的度数 （2）若：EAD=，B=，其余条件不变，直接写

51、出用含 ， 的式子表示C 的度数 【分析】 （1）根据三角形的内角和定理求出BAD，求出BAE，根据角平分线的定义求出BAC，即可求出答案； （2）根据三角形的内角和定理求出BAD，求出BAE，根据角平分线的定义求出BAC，即可求出答案 【解析】 （1）ADBC，ADC=ADB=90， B=40，BAD=90-40=50， EAD=15， BAE=50-15=35， AE 平分BAC， CAE=BAE=12BAC=35， BAC=70， C=180-BAC-B=180-70-40=70； （2）ADBC，ADC=ADB=90， B=，BAD=90-， EAD=，BAE=90-， AE 平分BA

52、C， CAE=BAE=12BAC=90-， BAC=180-2-2， C=180-BAC-B=180-（180-2-2）-=+2 【小结】本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键 变式24 如图，BD、BE分别是ABC的高和角平分线，46A ，74ABC，求DBE的度数. 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出ABD 的度数，再根据角平分线的性质求出ABE的度数，二者作差即可得出答案. 【解析】BD是ABC的高， ABD=90904644A， BE是ABC的角平分线， ABE=11743722ABC ， 44377DBEABDABE . 【小结】 考查直角三角形两锐角

53、互余、 角平分线性质， 在图形中找出DBEABDABE这一数量关系是解题的关键. 模型9 8 字模型 【条件】AE、BD 相交于点 C 【结论】A+B=D+E. 【证明】在三角形 ABC 种，由内角和定理：A+B+ACB=1810 在三角形 CDE 种，由内角和定理：D+E+CDE=1810 所以A+B+ACB=D+E+CDE 由ACB=CDE，故有A+B=D+E 例题8 图 1，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB，我们把形如图 1 的图形称之为“8字形”如图 2，在图 1 的条件下，DAB 和BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且与CD、AB 分别相交于 M、N试

54、解答下列问题： （1）在图 1 中，请直接写出A、B、C、D 之间的数量关系： ； （2）仔细观察，在图 2 中“8 字形”的个数： 个； （3）图 2 中，当D50 度，B40 度时，求P 的度数 （4）图 2 中D 和B 为任意角时，其他条件不变，试问P 与D、B 之间存在着怎样的数量关系 （直接写出结果，不必证明） 【分析】 （1）根据三角形内角和定理即可得出A+DC+B； （2）根据“8 字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8 字形”共有 6 个； （3） 先根据“8 字形”中的角的规律， 可得DAP+DP+DCP， PCB+BPAB+P，再根据角平分线的定义，得出DAPPAB，DCP

55、PCB，将+，可得 2PD+B，进而求出P 的度数； （4）同（3） ，根据“8 字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出 2PD+B 【解析】 （1）A+D+AODC+B+BOC180，AODBOC， A+DC+B； （2）线段 AB、CD 相交于点 O，形成“8 字形”； 线段 AN、CM 相交于点 O，形成“8 字形”； 线段 AB、CP 相交于点 N，形成“8 字形”； 线段 AB、CM 相交于点 O，形成“8 字形”； 线段 AP、CD 相交于点 M，形成“8 字形”； 线段 AN、CD 相交于点 O，形成“8 字形”； 故“8 字形”共有 6 个； （3）DAP+DP+DCP，

56、 PCB+BPAB+P， DAB 和BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P， DAPPAB，DCPPCB， +得：DAP+D+PCB+BP+DCP+PAB+P， 即 2PD+B， 又D50 度，B40 度， 2P50+40， P45； （4）关系：2PD+B 由D+1+2B+3+4 由ONCB+4P+2， +得： D+2B+21+23B+23+2P+21， D+2B2P+B， 即 2PD+B 【小结】主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识迁移能力 （1）中根据三角形内角和定理得出“8 字形”中的角的规律； （2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8

57、字形”； （3） （4）直接运用“8 字形”中的角的规律解题 变式25 已知：如图，AM，CM 分别平分BAD 和BCD 若B32，D38，求M 的度数； 探索M 与B、D 的关系并证明你的结论 【分析】根据三角形内角和定理用B、M 表示出BAMBCM，再用B、M 表示出MADMCD，再根据角平分线的定义可得BAMBCMMADMCD， 然后求出M 与B、D 关系，代入数据进行计算即可得解； 根据三角形内角和定理用B、 M 表示出BAMBCM， 再用B、 M 表示出MADMCD，再根据角平分线的定义可得BAMBCMMADMCD，然后求出M与B、D 关系 【解析】根据三角形内角和定理，B+BAMM

58、+BCM， BAMBCMMB， 同理，MADMCDDM， AM、CM 分别平分BAD 和BCD， BAMMAD，BCMMCD， MBDM， M（B+D）（32+38）35； 根据三角形内角和定理，B+BAMM+BCM，BAMBCMMB， 同理，MADMCDDM， AM、CM 分别平分BAD 和BCD， BAMMAD，BCMMCD， MBDM， M（B+D） 【小结】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义注意利用“8 字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用 变式26 如图 1，已知线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8 字

59、型” （1）求证：A+CB+D； （2）如图 2，若CAB 和BDC 的平分线 AP 和 DP 相交于点 P，且与 CD、AB 分别相交于点 M、N 以线段 AC 为边的“8 字型”有 个，以点 O 为交点的“8 字型”有 个； 若B100，C120，求P 的度数； 若角平分线中角的关系改为“CAP=31CAB，CDP=31CDB”，试探究P 与B、C 之间存在的数量关系，并证明理由 【分析】 （1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）以线段 AC 为边的“8 字型”有 3 个，以点 O 为交点的“8 字型”有 4 个； 根据角平分线的定义得到CAPBAP，BDPCDP，再根据三角形内角和

60、定理得到CAP+CCDP+P，BAP+PBDP+B，两等式相减得到CPPB，即P（C+B） ，然后把C120，B100代入计算即可； 与的证明方法一样得到 3PB+2C 【解析】 （1）证明：在图 1 中，有A+C180AOC，B+D180BOD， AOCBOD， A+CB+D； （2）解：3；4； 以 M 为交点“8 字型”中，有P+CDPC+CAP， 以 N 为交点“8 字型”中，有P+BAPB+BDP 2P+BAP+CDPB+C+CAP+BDP， AP、DP 分别平分CAB 和BDC， BAPCAP，CDPBDP，2PB+C， B100，C120，P（B+C）（100+120）110；

61、3PB+2C，其理由是： CAPCAB，CDPCDB，BAPCAB，BDPCDB， 以 M 为交点“8 字型”中，有P+CDPC+CAP， 以 N 为交点“8 字型”中，有P+BAPB+BDP CPCDPCAP（CDBCAB） ， PBBDPBAP（CDBCAB） 2（CP）PB，3PB+2C 【小结】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 180也考查了角平分线的定义 变式27 （1）如图 1 的图形我们把它称为“8 字形”，请说理证明A+BC+D （2）如图 2，AP、CP 分别平分BAD、BCD，若ABC20，ADC26，求P 的度数（可直接使用问题（1）中的结论） （3）如图 3，

62、直线 AP 平分BAD 的外角FAD，CP 平分BCD 的外角BCE，若ABC36，ADC16，猜想P 的度数为 （4）在图 4 中，若设Cx，By，CAP=31CAB，CDP=31CDB，试问P 与C、B 之间的数量关系为 （用 x、y 表示P） （5）在图 5 中，AP 平分BAD，CP 平分BCD 的外角BCE，猜想P 与B、D 的关系，直接写出结论 【分析】 （1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图 2，根据角平分线的性质得到12，34，列方程组即可得到结论； （3）由 AP 平分BAD 的外角FAD，CP 平分BCD 的外角BCE，推出12，34，推出PAD1802，PCD1

63、803，由P+（1801）D+（1803） ，P+1B+4，推出 2PB+D，即可解决问题； （4） （5）同法列出方程组即可解决问题 【解析】 （1）证明：在AOB 中，A+B+AOB180， 在COD 中，C+D+COD180， AOBCOD，A+BC+D； （2）如图 2，AP、CP 分别平分BAD，BCD，12，34， 由（1）的结论得：，+得 2P+2+31+4+B+D， P（B+D）23； （3）如图 3， AP 平分BAD 的外角FAD，CP 平分BCD 的外角BCE， 12，34，PAD1802，PCD1803， P+（1801）D+（1803） ，P+1B+4， 2PB+D，

64、P（B+D）（36+16）26； （4）同法可得：Px+y； （5）同法可得：P 【小结】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型 模型10 飞镖模型 图 1 图 2 图 3 【条件】四边形 ABPC 如图 1 所示 【结论】BPC=A+B+C. 【证明】如图 2，BPD=B+BAD，CPD=C+CAD BPC=BPD+CPD=B+BAD+C+CAD=A+B+C BPC=A+B+C 亦可按图 3 辅助线证明 例题9 （1）探究：如图 1，求证：BOCA+B+C （2）应用：如图 2，ABC100，DEF130，求A

65、+C+D+F 的度数 【分析】 （1）连接 OA，由三角形外角的性质可知1+B3，2+C4，两式相加即可得出结论； （2）连接 AD，由（1）的结论可知F+2+3DEF，1+4+CABC，两式相加即可得出结论 图 1 【解析】 （1）连接 OA， 3 是ABO 的外角，1+B3， 4 是AOC 的外角，2+C4， +得，1+B+2+C3+4，即BOCA+B+C； （2）连接 AD，同（1）可得，F+2+3DEF，1+4+CABC， +得，F+2+3+1+4+CDEF+ABC130+100230， 即A+C+D+F230 图 2 【小结】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据题意作

66、出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键 变式28 材料阅读：如图所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”解决问题： （1）观察“规形图”，试探究BDC 与A，B，C 之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺 DEF 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边 DE，DF 恰好经过点 B，C，若A40，则ABD+ACD 如图，BD 平分ABP，CD 平分ACP，若A40，BPC130，求BDC 度数 【分析】 （1）连接 AD 并延长至点 F，根据三角形外角性质即可得到BDC 与A，B，C 之间的数量关系； （2）、

67、由（1）可得，BDCABD+ACD+A，再根据A40，D90，即可得出ABD+ACD 的度数； 、根据（1） ，可得BPCBAC+ABP+ACP，BDCBAC+ABD+ACD，再根据 BD 平分ABP，CD 平分ACP，即可得出BDC 的度数 【解析】 （1）如图，连接 AD 并延长至点 F， 根据外角的性质，可得BDFBAD+B，CDFC+CAD， 又BDCBDF+CDF，BACBAD+CAD，BDCA+B+C； （2）由（1）可得，BDCABD+ACD+A； 又A40，D90，ABD+ACD904050， 由（1） ，可得BPCBAC+ABP+ACP，BDCBAC+ABD+ACD， ABP

68、+ACPBPCBAC1304090， 又BD 平分ABP，CD 平分ACP，ABD+ACD（ABP+ACP）45， BDC45+4085 【小结】考查三角形内角和定理以及外角性质，熟知三角形内角和等于 180是解题关键 变式29 在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想如图（1）中，求A+B+C+D+E 的度数等于多少时，我们可以连接 CD，利用三角形的内角和则有B+EECD+BDC，这样A、B、C、D、E 的和就转化到同一个ACD 中，即A+B+C+D+E180 尝试练习： 图（2）中A+B+C+D+E 的度数等于 图（3）中A+B+C+D+E 的度数等于 图（4）中A+B+C+

69、D+E+F 的度数等于 【分析】仿照材料、根据三角形内角和定理计算即可 【解析】如图（2） ，连接 CE， 则有A+BAEC+BCE， A+B+DCB+D+DEA180； 同理 图（3）中A+B+C+D+E180； 图（4）中A+B+C+D+E+F360 【小结】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于 180是解题的关键 变式30 已知：点 D 是ABC 所在平面内一点，连接 AD、CD （1）如图 1，若A28，B72，C11，求ADC； （2）如图 2，若存在一点 P，使得 PB 平分ABC，同时 PD 平分ADC，探究A，P，C 的关系并证明； （3）如图 3，在 （2）的条

70、件下，将点 D 移至ABC 的外部，其它条件不变，探究A，P，C 的关系并证明 【分析】 （1）如图 1，延长 AD 交 BC 于 E利用三角形的外角的性质即可解决问题； （2）AC2P，利用三角形的外角的性质可以推出：A+1P+3，由12，34，推出A+2P+4，由（1）知42+P+C，可得A+2P+2+P+C 即可解决问题； （3）A+C2P，证明方法类似； 【解析】 （1）如图 1，延长 AD 交 BC 于 E 在ABE 中，AECA+B28+72100， 在DEC 中，ADCAEC+C100+11111 （2）AC2P，理由如下： 如图 2，5A+1，5P+3， A+1P+3， PB

71、平分ABC，PD 平分ADC， 12，34， A+2P+4， 由（1）知42+P+C， A+2P+2+P+C， AC2P （3）A+C2P，理由如下： 同（2）理知A+1P+3，C+4P+2， A+C+1+42P+2+3， PB 平分ABC，PD 平分ADC， 12，34， 1+42+3， A+C2P 【小结】考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 模型11 筝型 【结论】PBD+PCE=A+P 例题10 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D、E 分别在 边 AB、AC 上，将ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合 （1）若A75，则1+

72、2 （2）若An，则1+2 （3）由（1） （2）探索A 与1+2 之间的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）先根据图形翻折变化的性质得出ADEADE，AEDAED，ADEADE， 再根据三角形内角和定理求出AED+ADE 及AED+ADE 的度数， 然后根据平角的性质即可求出答案； （2）同（1） ； （3）根据（1） 、 （2）的规律即可得出结论 【解析】 （1）ADE 是ABC 翻折变换而成， AEDAED，ADEADE，AA75， AED+ADEAED+ADE18075105，1+23602105150 （2）ADE 是ABC 翻折变换而成， AEDAED，ADEADE，AAn， A

73、ED+ADEAED+ADE180n， 1+23602（180n）2n，1+22n； （3）由（1） 、 （2）可知，2A1+2 【小结】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 变式31 动手操作：一个三角形的纸片 ABC，沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A处 观察猜想 （1）如图 1，若A40，则1+2 ； 若A55，则1+2 ； 若An，则1+2 探索证明： （2）利用图 1，探索1、2 与A 有怎样的关系？请说明理由 拓展应用： （3）如图 2，把ABC 折叠后，BA平分ABC，CA平分ACB，若1+

74、2108，利用（2）中结论求BAC 的度数 【分析】 （1）根据翻折变换的性质用1、2 表示出ADE 和AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用1、2 表示出ADE 和AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2） 由BDE、 CED 是ADE 的两个外角知BDEA+AED、 CEDA+ADE，据此得BDE+CEDA+AED+A+ADE，继而可得答案； （3）由（1）1+22A 知A54，根据 BA平分ABC，CA平分ACB 知ABC+ACB（ABC+ACB）90A利用BAC180（ABC+ACB）可得答案 【解析】 （1）点 A 沿 DE 折叠落在点

75、 A的位置， ADEADE，AEDAED， ADE（1801） ，AED（1802） 在ADE 中，A+ADE+AED180， 40+（1801）+（1802）180， 整理得1+280； 同理A55，则1+2110；An，则1+22n； （2）1+22A， 理由：BDE、CED 是ADE 的两个外角， BDEA+AED，CEDA+ADE， BDE+CEDA+AED+A+ADE， 1+ADE+2+AED2A+AED+ADE， 即1+22A； （3）由（1）1+22A，得 2A108， A54， BA平分ABC，CA平分ACB， ABC+ACB（ABC+ACB） （180A） 90A BAC18

76、0（ABC+ACB） ， 180（90A） 90+A 90+54 117 【小结】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于 180，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键 变式32 RtABC 中， C90， 点 D、 E 分别是ABC 边 AC、 BC 上的点， 点 P 是一动点 令PDA1，PEB2，DPE （1）若点 P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且50，求1+2 的度数； （2）若点 P 在边 AB 上运动，如图（2）所示，则、1、2 之间有何关系？猜想并说明理由； （3）若点 P 运动到边 AB 的延长线上，如图（3

77、）所示，直接写出、1、2 之间关系为： （不需说明理由） 【分析】 （1）如图 1 中，连接 PC由1DCP+DPC，2PCE+CPE，推出1+2（DCP+PCE）+（DPC+EPC） ，由DCP+PCE90，DPC+EPC50，即可推出1+2140 （2）结论：1+290+证明方法类似（1） （3）由1C+COD，COD2+，由C90，即可推出190+2+ 【解析】 （1）如图 1 中，连接 PC 1DCP+DPC，2PCE+CPE， 1+2（DCP+PCE）+（DPC+EPC） ， DCP+PCE90，DPC+EPC50， 1+2140 （2）结论：1+290+ 理由如图 2 中，连接 P

78、C 1DCP+DPC，2PCE+CPE， 1+2（DCP+PCE）+（DPC+EPC） ， DCP+PCE90，DPC+EPC 1+290+ （3）如图 3 中， 1C+COD，COD2+， C90， 190+2+ 故答案为190+2+ 【小结】本题考查三角形综合题、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是灵活运用三角形的外角的性质，属于中考常考题型 变式33 如图（1） ，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 的纸片，点 D、E 分别在 AB、AC 上，将ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合，若A70，则1+2 ； 如图（2） ，当点 A 落在ABC 外部时，那么21 【分析

79、】连接 AA，依据1 是AAE 的外角，可得1EAA+EAA，同理可得，2DAA+DAA，再依据角的和差关系进行计算即可；当点 A 落在ABC 外部时，连接AA，2 是AAE 的外角，2EAA+EAA，同理可得，1DAA+DAA，再依据角的和差关系进行计算即可 【解析】如图 1，连接 AA， 1 是AAE 的外角，1EAA+EAA， 同理可得，2DAA+DAA，由折叠可得，EADEAD， 1+2EAA+EAA+DAA+DAA2BAC140； 如图 2，连接 AA， 2 是AAE 的外角，2EAA+EAA， 同理可得，1DAA+DAA，由折叠可得，EADEAD， 21（EAA+EAA）（DAA+DAA） EAD+DAA+EAD+DAADAADAA EAD+EAD 2BAC 140 【小结】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称.