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1、2013年北京市高级中等学校招生考试数学试卷满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. (2013北京，1,4分)在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（20132015）中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划将3 960用科学计数法表示应为A. 39.6102 B. 3.96103 C. 3.96104 D. 3.96104 【答案】B2. (2013北京，2,4分)的倒数是A. B. C. D. 【答案】D3. (2013北京，3,4分)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为
2、1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为A. B. C. D. 【答案】C.4. (2013北京，4,4分) 如图，直线，被直线所截，12，若340，则4等于A. 40 B. 50C. 70 D. 80【答案】C.5. (2013北京，5,4分)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得ABBC，CDBC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上若测得BE20 m，EC10 m，CD20 m，则河的宽度AB等于A. 60 m B. 40 mC. 30 m D. 20 m【答案】B.6. (2013北京，6,4分)下列图形中，是中心对
3、称图形但不是轴对称图形的是【答案】A.7. (2013北京，7,4分)某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是A. 6.2小时 B. 6.4小时 C. 6.5小时 D. 7小时【答案】B.8. (2013北京，8,4分)如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB2，设弦AP的长为，APO的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是【答案】A.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. (2013北京，9,4分)分解因式：_【答案】a(b2)210. (2
4、013北京，10,4分)请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y_【答案】x2111. (2013北京，11,4分)如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB5，AD12，则四边形ABOM的周长为_ 【答案】2012. (2013北京，12,4分)如图，在平面直角坐标系O中，已知直线：，双曲线在上取点A1，过点A1作轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作轴的垂线交于点A2，请继续操作并探究：过点A2作轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作轴的垂线交于点A3，这样依次得到上的点A1，A2，A3，An，记点An的横坐标为，若，则_，_；若要将上述操作无限次
5、地进行下去，则不能取的值是_【答案】，0，1三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. (2013北京，13,5分)如图，已知D是AC上一点，ABDA，DEAB，BDAE求证：BCAE证明： DE AB CABADE在 ABC 与DAE 中 ADE BAC （ASA） BCAE.14. (2013北京，14,5分)计算：【解】原式5.15. (2013北京，15,5分)解不等式组：解：由 3x x 2 ，得x1由，得不等式组的解集为16. (2013北京，16,5分)已知，求代数式的值【解】代数式化简得：= 3x212x9= 3(x2 4x 3) x2 4x1代入得原式 12. 17. 列方
6、程或方程组解应用题：(2013北京，17,5分)某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积解：设每人每小时的绿化面积为x平方米则有解得x2.5. 经检验：x2.5时，公分母不为0，所以x2.5是原分式方程的解答：每人每小时的绿化面积为2.5 平方米18(2013北京，18,5分)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值解：（1）b24ac44(2k4)208k. 方程有两个不等的实根208k0k（2）k为整数，0k(
7、且k为整数)，即k为1或2，方程的根为整数，52k为完全平方数当k1时，52k3;当k2时，52k1.k2. 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19(2013北京，19,5分)如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CEBC，连结DE，CF（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB4，AD6，B60，求DE的长【解】（1）在ABCD 中， ADBC，ADBC. F 是 AD 中点.DFAD，又CEBCDFCE且DF/CE四边形CEDF为平行四边形（2）过点D作DHBE于H，在ABCD 中，B60 DCE60AB4，CD4CH2，DH2.在CEDF中，CEDFAD3E
8、H1.在RtDHE中，DE.20(2013北京，20,5分)如图，AB是O的直径，PA，PC分别与O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E（1）求证：EPDEDO；（2）若PC6，tanPDA，求OE的长解：（1） PA 、 PC 与圆O分别相切于点 A 、 C. APOEPD 且 PAAO 即PAO90AOPEOD，PAOE90.APOEDO.即 EPDEDO.（2）连结 OC PAPC 6.tanPDA在 RtPAD 中 AD8 ， PD10 CD4tanPDA在 RtOCD 中， OCOA3 ， OD5.EPDEDO. OED DEP在 RtOED中，O
9、E2DE252.OE21(2013北京，21,5分)第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分： （1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为_平方千米；（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于
10、2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量（万人次）单日最多接待游客量（万人次）停车位数量（个）第七届0.86约3 000第八届2.38.2约4 000第九届8（预计）20（预计）约10 500第十届1.9（预计）7.4（预计）约_【解】（1） 0.03; （2）陆地面积 3.6 水面面积1.5 图略；（3）3700. 22(2013北京，22,5分)阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AEBFCGDH1，当AFQBGMCHNDEP45时，求正方形MNP
11、Q的面积小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形MNPQ的面积参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取ADBECF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ，若，则AD的长为_【解】（1） a（2）四个等腰直角三角形面积和为 a2正方形 ABCD 的面积为 a2 S正方形MNPQSARE SDWH SGCT
12、 SSBF4SARE（3）提示：模仿小明的操作，向正三角形外面补出三个“尖角三角形”，如下图这样，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积！五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系O中，抛物线（）与轴交于点A，其对称轴与轴交于点B（1）求点A，B的坐标；（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且在这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式解：（1）当 x 0 时， y 2 . A（0，2）抛物线对称轴为 x， B（1，0）（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A（2，2）则直线 l 经过 A 、 B .没直线的解析式为 ykxb则解得直线的解析式为 y2x 2（3）抛物线对称轴为 x 1抛物体在 2 x3 这一段与在1x 0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2x 1这一段位于直线 l 的上方，在 1 x0 这一段位于直线 l 的下方抛物线与直线 l 的交点横坐标为 1 ；当 x1 时， y2x(1)2 4则抛物线过点（1，4）当 x1 时， m2m 24 ， m2抛物线解析为 y2x2 4x2 .
