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1、定义域的求法一、常规型注意根号，分式，对数，幕函数，正切2、常见的定义域 当f(x)是整式时，定义域为R。 当f(x)是分式时，定义域为使分母不为零的x的取值的集合。 偶次根式的定义域是使被开方式非负的x的取值的集合。 零指数幕或负指数幕的定义域是使幕的底数不为0的x的取值的集合。 对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x的取值的集合。 正切函数y=ta nx”1一 iog：tanxx 2 x 31求函数y二X2仏-15的定义域。2求函数|x 3| -8y=.si nx 1-J16-X2的定义域。复合函数定义域的求法(1)已知f (x)的定义域，求fg(x)的定义域其解法是：已知f(
2、x)的定义域是a，b求fg(x)的定义域是解a _ g(x) _ b，即为所求的定义域。测试：设函数f (x)的定义域为1.0,11,求函数y二f (x a) f (xa)(a - 0)的定义域。(2)已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知fg(x)的定义域是a，b，求f(x)定义域的方法是：由 a乞x乞b，求g(x)的值域，即 所求f(x)的定义域。测试：已知函数 f (x 1)的定义域为 1-2,3 1， 求函数f(x)的定义域。(2)已知fg(x)的定义域，求f(t(x)的定义域。其解法是：已知fg(x)的定义域是a，b，求f(x)定义域的方法是：由 ax乞b，求g(
3、x)的值域，也 就是t(x)的值域，求岀t(x)的定义域测试、已知函数 f (x 1)的定义域为 1-2,3 1， 求函数y = f(2x1)的定义域。三、逆向型R，求参数的范围问题通即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为常是转化为恒成立问题来解决。例1已知函数y = mx2 -6mx - m 8的定义域为 R求实数m的取值范围。例2已知函数kx +7f (x)2的定义域是 R，求实数k的取值范围。kx +4kx +3四参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例6已知f(x)的定义域为0, 1,求函数 F(x) =f(x a) f(x _a)的定
4、义域。解：因为f(x)的定义域为0,门，即0岂x。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集:0兰x +a兰10兰X a兰1即两个区间a, 1-a与a, 1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知1(1) 当a 一0时，f(x)的定义域为x | -a _ x 一 1 a；21(2) 当 o_a 时，f(x)的定义域为x|a_x_1-a；11(3) 当a 或a时，上述两区间的交集为空集，此时f(x)不能构成函数22五对数有关定义域为 R y=log2axbx c(a工0)的定义域为R,则满足(2)当值域为R则满足定义域的作用分析一禾U用函数的定义域判断函数是否是同一函数例1 判断函数f(x)=lg
5、x2与g(x) =2lg x是否同一函数?二.函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定义 域，否则所求函数关系式就可能出错另外，根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集 合，若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集，那么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式.例1 把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，求矩形面积 S与矩形长x的函数关系式.解：设矩形的长为xcm,则宽为、502 _x2cm,由题意得:S =x.5O2 -X2，故所求的函数关系式为：S二x 50 -x2 .如果解题到此为止，则本题的函数
6、关系式还欠完整，缺少自变量 x的范围，解题思路还 不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数或零，即矩形的面积为 非正数，这与实际问题相矛盾，故还要补上自变量x的范围：0 ： x ： 50，所以函数关系式为：S = x ,502 -x2 ( 0 x : 50).评析：从此例可以看岀，用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，结果很有可能出错例3 判断式子y=-.1-x2 -r：是否为函数关系式.Jx2 -1解：要使上面的式子有意义，则1-x 2 0且x2-10，其解集为空集，由函数定义可知这个式子不表示函数关系式.评注：解
7、题时若忽视了定义域的作用，则很可能得到一个错误结果.三.函数定义域对函数值域的限制作用函数的值域是指全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定后，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应特别注意函数定义域.其实以上结论只是对二次函数ax2 bx c(a 0)在R上适用，而在指定的 定义域区间p,q上，它的最值应分如下情况：当-:P 时 y = f(X)在p,q上单调递增函数 f(X)min 二 f(P)，f(X)max 二 f(q)；2a当A . q 时，y 二 f(x)在p,q上单调递减函数 f(X)max = f(P)，f(X)min = f (q)；2a当 p -q 时 y 二 f(X)在
8、 p,q上最值情况是：f (x)min = f ( b) = 4ac_，2a2a 4af (x)max 二 max f (p), f (q) 即最大值是 f ( p), f (q)中最大的一个值。例4.求函数y = x 2 x - 3的值域.错解：令 t = . x -3,则 x = t23 y =(t2 3) 2t2 2t (t 1)2 2，故所求的函数值域是2,=).四函数定义域对函数奇偶性的作用例1判断函数y=(1+x)；一：的奇偶性.错解 f(x)=7l-x2 ,f (-x)二 f(x), 函数 y=(1+x)是偶函数故在解例6:判断函数y=sinx，x 0, 6 n 的周期性.六函数
9、定义域对函数单调区间的作用函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，而函数的单调区间是函数定义域的子集， 所以讨论函数单调性一定要在函数的定义域内 讨论函数的单调区间.例1.指出函数f(x)=lg(x23x)的单调区间.七函数定义域对求反函数的影响有些函数不存在反函数，但在其单调区间内存在反函数，在求这类函数的反函数时，除注意其值域外，也 要注意定义域例8.求函数y二-X24x2(0岂x2)的反函数.错解：函数y = -X2 4x 2(0空X乞2)的值域为y 2,6，又 y = (X -2)2 6，即(x -2)2 = 6y， x-2二 6-y，所求的反函数为y=2 (2x 6).八.函数定义域对解不等式、方程或求值的作用有时巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，. 1 X2 X2 1例9.设x、y为实数，且y二，试求lg(x+y)之值.1 +x21-X2 兰 0解：x应满足x?10，即x = 1，将其代入已知等式，得y= 0，1+x0故 ig(x+y)=ig1=0
